Teoria de Números e Aplicações

Código:

M3015

Sigla:

M3015

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2022/2023 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=372
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Biologia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	4	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	6	56	162
			3
L:F	2	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Introduzir os conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números e alguns dos seus aspectos computacionais. Dar algumas das suas aplicações criptográficas.

Resultados de aprendizagem e competências

Conhecer os conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números, assim como alguns dos seus aspectos computacionais e algumas das suas aplicações criptográficas.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

M141 Álgebra Linear I

M142 Álgebra Linear II

Programa

1. Introdução à disciplina; Números (axiomas de Peano, indução, boa-ordenação)
2. Domínios de factorização única  (algoritmo de Euclides em Z e K[x], dominios Euclideanos, DIP, DFU)
3. Alguns funções aritméticas (primos perfeits, primos de Mersene, Função de Möbius, produto de Dirichlet, função phi de Euler, Teorema pequeno de Fermat)
4. Aritmética Modular( Teorema de Euler, Teorema pequeno de Fermat).
5. Raízes primitivas e o grupo das unidades U(Z/nZ)
6. Resíduos quadraticos e a lei  da reciprocidade quadrâtica
7. Criptografia (cifras clássicas e chaves públicas, Deffie-Hellman, RSA, algoritmo rápido para calcular potências mod n, assinaturas digitais, ElGamal, curvas elípticas)
8. Testes de primalidade (Miller-Rabin)

Bibliografia Obrigatória

Ireland Kenneth; A classical introduction to modern number theory. ISBN: 0-387-90625-8

Bibliografia Complementar

Shoup Victor; A computational introduction to number theory and algebra. ISBN: 0-521-85154-8 (Disponível gratuitamente em http://www.shoup.net/ntb)
Endler O.; Teoria dos Números Algébricos

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com apresentação teórica da matéria e ilustração através de exemplos.
Aulas teorico-práticas com resolução de problemas concretos pelos estudantes.

Software

SageMath

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	50,00
Exame	50,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

Na época normal a classificação será a soma das classificações obtidas no teste e no exame da época normal.

O exame da época de recurso terá duas partes que correspondem ao teste e o exame da época normal. Os alunos podem optar para fazer só uma das duas partes e manter a nota do teste respetivamente do exame da época normal.

Provas e trabalhos especiais

1 testes + 1 exame