Equações Diferenciais

Código:

M2011

Sigla:

M2011

Nível:

200

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2022/2023 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=1005
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Biologia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	1	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	5	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	6	56	162
			3
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Aquisição de conhecimentos básicos da teoria das Equações Diferenciais e aplicação desta teoria a situações reais.

Resultados de aprendizagem e competências

Pretende-se que os estudantes adquiram conhecimentos e se familiarizem com técnicas que lhes permitam:

a. resolver equações diferenciais ordinárias de tipo clássico (de 1ª e 2ª ordem) e sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias;

b. estudar equações diferenciais do ponto de vista qualitativo (pontos de equilíbrio, estabilidade e diagramas de fase no caso de dimensão 2);

c. modelar (e resolver) problemas reais que envolvem equações diferenciais.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I e II e Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II.

Programa

1. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem 
Equações diferenciais lineares, separáveis, exatas, homogéneas. Aplicações: datação por isótopos radioativos, crescimento de populações, misturas, trajetórias ortogonais entre outras.  

2. Teorema da existência e unicidade de solução

3. Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem
Sistemas lineares homogéneos com coeficientes constantes e sistemas autónomos não lineares. Diagramas de fase. Pontos de equilíbrio e critérios de estabilidade. Aplicações: modelo do arrefecimento de Newton com temperatura ambiente variável, modelo de Lotka-Volterra.

4. Equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem 
Equações homogéneas. Método da variação dos parâmetros e método da redução de ordem para equações não homogéneas. Resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem por expansão em série de potências. Aplicação: movimento de um objeto sujeito à força de uma mola elástica, com ou sem atrito, com ou sem ação de forças exteriores.

Bibliografia Obrigatória

Braun Martin; Differential equations and their applications. ISBN: 0-387-90266-X

Bibliografia Complementar

Hirsch Morris W.; Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. ISBN: 0-12-349550

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com apresentação teórica da matéria e ilustração através de exemplos. 
Aulas teorico-práticas com resolução de problemas concretos pelos estudantes.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	104,00
Frequência das aulas	56,00
Trabalho escrito	2,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Os estudantes deverão estar presentes em todas as aulas usadas para avaliação distribuída (a indicar nas aulas da primeira semana).

Fórmula de cálculo da classificação final

Época normal: a classificação será a média aritméticas das classificações obtidas em dois testes, ambos com a cotação de 20 valores.
Para obter aprovação o estudante deve ter uma nota mínima de 5 valores em cada um dos testes.

Época de recurso: a classificação será a obtida num exame, dividido em duas partes de forma a corresponder aos conteúdos dos testes 1 e 2. Mantém-se o requisito de nota mínima de 5 valores em cada uma das partes.
Aos estudantes que não tiverem ainda obtido aprovação à UC, e apenas a estes, será dada a possibilidade de substituir uma das partes do exame pela classificação obtida no teste correspondente. 

Exceção aplicável a ambas as épocas: um estudante que obtenha uma classificação superior ou igual a 18 valores deverá realizar uma prova complementar em data a combinar, caso contrário ficará com a classificação de 18 valores.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Estudantes que por estatuto especial estejam dispensados da avaliação distribuída terão um exame nas condições descritas para a época de recurso.

Melhoria de classificação

A melhoria de classificação deverá ser feita na época de recurso.