Introdução aos Sistemas Dinâmicos

Código:

M3029

Sigla:

M3029

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2021/2022 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:M	7	Plano de Estudos Oficial	2	-	3	28	81
			3

Língua de trabalho

Português

Objetivos

O programa dará ênfase a exemplos e resultados sobre dinâmicas em baixas dimensões que ilustrem métodos geométricos, topológicos e probabilísticos usuais nesta área de investigação.

Resultados de aprendizagem e competências

O programa é uma introdução a uma área recente mas com grande impacto em Matemática e noutras ciências. A lista de tópicos ensinados contém uma componente clássica e outra que é resultado de investigação recente, e inúmeros exemplos de aplicação.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise, Teoria da Medida e Topologia. 

Programa

1. Sistemas dinâmicos discretos.

Iteração de uma função de um espaço em si mesmo. Noções de órbita periódica, ponto recorrente, ponto não-errante, órbita densa, conjugação, propriedade estável, propriedade genérica, dinâmica minimal.
Motivação para o estudo qualitativo das órbitas de um sistema dinâmico: 
 
(a) Dinâmica da herança de traços autossómicos.
(b) Modelo matricial para o desfecho da batalha de Trafalgar.
(c) Modelos dinâmicos de interacção entre espécies. 
(d) Processos de Markov e o funcionamento do motor de pesquisa Google.
(e) Sucessões do método de Newton.
(f) Dinâmica de alguns truques com cartas.

2. Análise detalhada de alguns exemplos:

(a) funções contínuas de um intervalo [a,b] com a<b;
(b) aplicação de Gauss;
(c) homeomorfismos de R;
(d) funções contínuas da circunferência unitária;
(e) funções lineares no plano;
(f) shifts com alfabeto finito;
(g) aplicação do triângulo pedal;
(h) problema de Lagarias da aplicação 3x+1.

3. Homeomorfismos da circunferência unitária: Teoremas de Poincaré e Denjoy.

4. Ordem de Sharkovskii para os pontos periódicos de funções contínuas num intervalo.

5. Demonstrações dinâmicas de alguns resultados de Teoria de Números:

(a) Pequeno Teorema de Fermat.
(b) Grande Teorema de Fermat.
(c) Génese das fracções contínuas simples, e algumas das suas propriedades.

Bibliografia Obrigatória

Hirsch Morris W.; Differential equations, dynamical systems, and introduction to chaos. ISBN: 0-12-349703-5
Melo Welington de; One-dimensional dynamics. ISBN: 3-540-56412-8
Shub Michael; Global stability of dynamical systems. ISBN: 0-387-96295-6
Robinson Clark; Dynamical systems. ISBN: 0-8493-8493-1

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto correspondem a aulas teóricas e teórico-práticas. O que significa que há um compromisso em se recorrer a exemplos variados para ilustrar os conceitos e os resultados apresentados, em resolver exercícios e em discutir problemas, alguns em aberto. É sugerida bibliografia vasta e recente, cuja leitura na íntegra se recomenda.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	47,00
Frequência das aulas	28,00
Trabalho escrito	6,00
Total:	81,00

Obtenção de frequência

Não haverá registo de faltas.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação consta de um exame escrito (cotado de 0 a 20).

Trabalho de estágio/projeto

Não aplicável.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Não aplicável.

Melhoria de classificação

De acordo com os estatutos da FCUP, os alunos têm acesso a um exame de recurso para melhoria de nota.

Observações

Júri da disciplina: Maria Pires de Carvalho