Lógica e Fundamentos

Código:

M3009

Sigla:

M3009

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2021/2022 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	4	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:M	31	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Familiarizar-se com conceitos básicos da lógica e da teoria de conjuntos. Compreender a importância dos teoremas de completude e incompletude de Gödel, bem como a necessidade da definição axiomática de conjunto.

Resultados de aprendizagem e competências

Capacidade de resolver problemas na área. Autonomia na resolução de exercícios.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1. CÁLCULO PROPOSICIONAL: semântica, sintaxe, completude e compacidade

2. LINGUAGENS DE PRIMEIRA ORDEM: símbolos funcionais e relacionais, constantes, linguagens com igualdade, termos e fórmulas

3. SEMÂNTICA: estruturas, interpretação das variáveis, consequência semântica, fórmulas válidas

4. SINTAXE: axiomas e inferência, consequência sintática, consistência, forma normal prenex

5. COMPLETUDE: teoremas da completude e da compacidade para a lógica de primeira ordem

6. LÓGICA DE SEGUNDA ORDEM: lógica de segunda ordem e lógica de segunda ordem monádica, teorema de Rabin

7. OS TEOREMAS DE INCOMPLETUDE DE GÖDEL: significado dos teoremas de incompletude, demonstração de uma versão simplificada do primeiro teorema

8. CONSTRUÇÂO DOS NÚMEROS NATURAIS: a axiomática de Peano, construção dos números inteiros, construção dos números racionais

9. CONSTRUÇÂO DOS NÚMEROS REAIS: cortes de Dedekind, referência à construção à base de sucessões de Cauchy

10. TEORIA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS: paradoxos resultantes da definição intuitiva de conjunto, axiomática de Zermelo-Fraenkel, construção dos números naturais nesta axiomática

11. ORDINAIS: conjuntos bem ordenados, indução transfinita, ordinais e suas propriedades

12. O AXIOMA DA ESCOLHA: axioma da escolha, diversas formulações equivalentes, um axioma não consensual

13. CARDINAIS: equipotência, conjuntos finitos e numeráveis, hipótese do contínuo, Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, Teorema de Cantor, cardinal de um conjunto

Bibliografia Obrigatória

Almeida Jorge; Introdução à lógica
Ebbinghaus Heinz-Dieter 1939-; Mathematical logic. ISBN: 978-0-387-94258-2
Enderton Herbert B.; A mathematical introduction to logic
Oliveira A. J. Franco de; Teoria de conjuntos intuitiva e axiomática (ZFC)
Hrbacek Karel; Introduction to set theory. ISBN: 0-8247-8581-9
Mendelson Elliott; Introduction to mathematical logic

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Apresentação da matéria e exemplos pelo docente. Serão propostos exercícios aos estudantes com antecedência e posteriormente discutidos nas aulas.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Sem requisitos.

Fórmula de cálculo da classificação final

A matéria desta UC será dividida em duas partes, cada uma avaliada por um teste cotado para 10 valores.

O segundo teste realiza-se na altura marcada para o exame da época normal. No mesmo dia, haverá a possibilidade de repetição do primeiro teste, prevalecendo a nota aí obtida para os estudantes que assim o decidam.

Época normal:

1. A classificação final da época normal é a soma das classificações dos dois testes, excepto eventualmente no seguinte caso.

2. Notas superiores a 18 só serão concedidas após a realização de uma prova complementar (oral ou escrita).

 Época de recurso:

1. No exame da época de recurso os estudantes podem repetir novamente os dois testes ou somente um deles (exceto nos casos de melhoria).

2.A classificação de um (mas só um) dos testes poderá ser substituída a posteriori pela classificação obtida no teste correspondente da época normal, na versão mais favorável ao estudante (exceto nos casos de melhoria).

3. A classificação final da época de recurso será a soma das classificações dos 2 testes, arredondada à unidade, excepto eventualmente nos casos considerados a seguir.

4. Os alunos que tenham obtido uma classificação igual ou superior a 8,0 valores e inferior a 9,5 valores terão acesso a uma prova complementar para decidir sobre a sua aprovação (com 10 valores) ou reprovação (com 8 ou 9 valores).

5. Notas superiores a 18 só serão concedidas após a realização de uma prova complementar (oral ou escrita).