Análise Real II

Código:

M1037

Sigla:

M1037

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2021/2022 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:M	135	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber: os resultados básicos séries numéricas e séries de funções; os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis e compreender as noções de derivada parcial, gradiente, pontos de máximo e mínimo local, plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis; os métodos de integração múltipla e ser capaz de os usar na determinação de áreas, volumes, etc, de regiões do plano ou do espaço recorrendo, se necessário, a mudança de variáveis.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber: os resultados básicos séries numéricas e séries de funções; os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis e compreender as noções de derivada parcial, gradiente, pontos de máximo e mínimo local, plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis; os métodos de integração múltipla e ser capaz de os usar na determinação de áreas, volumes, etc, de regiões do plano ou do espaço recorrendo, se necessário, a mudança de variáveis.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise real e conceitos básicos de Álgebra Linear e Geometria Analítica I.

Programa

1. Séries.
Séries  numéricas  e  séries  de  potências:  critérios  de convergência. Sucessões  e  séries  de  funções  reais  de  variável real:  convergência  simples  e  uniforme; critérios  de  convergência; séries  de  funções  contínuas. Teorema de Abel sobre séries de potências.

2. Cálculo diferencial de funções vectoriais de várias variáveis.
Gráficos de funções (escalares) de várias variáveis, curvas de nível e superfícies de nível. Abertos e fechados em R^n. Ponto de acumulação e ponto isolado. Limites e continuidade de funções. Derivadas direccionais e derivadas parciais. Derivada de uma função escalar num ponto. Gradiente. Derivabilidade e gradiente. Plano tangente ao gráfico de uma função. Interpretação do vector gradiente. Recta normal e hiperplano tangente a uma superfície de nível num ponto. Derivadas de ordem superior. Igualdade das derivadas parciais mistas. Derivada de uma função vectorial num ponto. Matriz jacobiana. Derivada da função composta. Derivada da função inversa. Regra de Leibniz. Máximos e mínimos de funções escalares de várias variáveis. Classificação dos extremos usando derivadas parciais de segunda ordem. Método dos multiplicadores de Lagrange.

3. Integrais múltiplos.
Definição de integral de uma função (de várias variáveis) sobre um rectângulo e sobre uma região limitada. Teorema de Fubini. Teorema da mudança de coordenadas para integrais múltiplos. Volumes a área das superfícies de sólidos de revolução.

Bibliografia Obrigatória

Spivak Michael; Calculus. ISBN: 0-914098-89-6
Marsden Jerrold E. 1942-2010; Elementary classical analysis. ISBN: 0-7167-2105-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados. São disponibilizados materiais de apoio na página da disciplina. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Software

GeoGebra

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	60,00
Teste	40,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	159,00
Frequência das aulas	84,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não haverá exclusão por faltas.

Fórmula de cálculo da classificação final

Haverá um teste a meio do semestre, cotado para oito valores. Um segundo teste terá lugar na época normal de exames, estará cotado para doze valores e será relativo à matéria que não saiu para o primeiro teste. O exame da época de recurso estará cotado para vinte valores. Quem o desejar, poderá fazer apenas a parte do exame correspondente a um dos testes e manter a nota do outro teste.

Os alunos que estejam a fazer melhoria não podem substituir parte alguma do exame; terão de fazer o exame todo.

Na época de conclusão da licenciatura ou na época especial não será possível substituir parte alguma do exame.

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova que poderá ser oral e /ou escrita. Em caso algum estes alunos poderão substituir parte do exame por nota obtida em teste.

Classificações superiores a 17 valores (quer na época normal, quer no exame da época de recurso) só serão atribuídas após realização de uma prova escrita complementar.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova que poderá ser oral e /ou escrita. Em caso algum estes alunos poderão substituir parte do exame por nota obtida em teste.

 

Melhoria de classificação

Exame. Os alunos que estejam a fazer melhoria não podem substituir parte alguma do exame pela nota obtida em teste, terão de fazer o exame todo.

Observações

A qualquer aluno pode ser exigida a realização de uma prova oral para esclarecer dúvidas que tenham surgido relativamente às provas ou trabalhos de avaliação.