Álgebra

Código:

M4075

Sigla:

M4075

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2020/2021 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:M	8	Plano de Estudos do M:Matemática	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português e inglês

Objetivos

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve dominar os conceitos e resultados básicos de teoria de anéis e módulos, quer a nível da sua concretização nos exemplos clássicos destas estruturas, quer numa perspetiva geral e abstrata. Pretende-se ainda que a frequência desta unidade curricular contribua para o desenvolvimento de aptidões e competências de raciocínio abstrato e de domínio do método matemático.

Resultados de aprendizagem e competências

Familiaridade com os resultados e técnicas principais da teoria básica de anéis.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisitos: dois semestres de álgebra linear, um semestre de teoria de grupos.

Programa

Esta disciplina UC é uma introdução à teoria de anéis, com ênfase na teoria de módulos.  Serão estudadas várias classes importantes de anéis e de módulos, realçando aspectos da teoria dos anéis comutativos e da teoria dos anéis não-comutativos. Serão abordados resultados clássicos importantes bem como linhas de investigação mais recente. 

Em particular serão abordados os seguintes tópicos:

1) Anéis: corpos, anéis de divisão, anéis de matrizes; anéis de semigrupo, anéis livres

2) A categoria de módulos: Módulos e homomorfismos. Anéis de endomorfismos. Módulos simples, módulos finitamente gerados e móduos livres. Somas de módulos (interna e externa). 

3) Módulos e anéis com condições de cadeia. Anéis de operadores diferenciais.

4) Módulos de comprimento finito: o teorema de Jordan-Hölder.

5) Módulos projetivos e módulos injetivos.

6) Teoria de Artin-Wedderburn: semisimplicidade, estrutura de anéis semisimples.

7) O grupo de Brauer de um anel de divisão

8) O radical de Jacobson e o teorema da densidade. 

9) Módulos sobre álgebras de dimensão finita.

Bibliografia Obrigatória

Passman Donald S.; A course in ring theory. ISBN: 0-534-13776-8
Lam T. Y.; A first course in noncommutative rings. ISBN: 0-387-97523-3

Bibliografia Complementar

Brec5a1ar Matej; Introduction to noncommutative algebra. ISBN: 9783319086927
Goodearl K. R.; An introduction to noncommutative Noetherian rings. ISBN: 0-521-36086-2
Rowen, Louis; Ring Theory (students edition), Academic Press, Inc., 1991. ISBN: 0-12-599840-6
Herstein I. N.; Topics in ring theory. ISBN: 0-226-32802-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto são teórico-práticas e nestas serão apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para os  ilustrar.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Álgebra

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	50,00
Trabalho escrito	50,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	112,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	168,00

Obtenção de frequência

Sem restrições.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação é feita pela resolução individual de exercícios propostos e por um exame final.

A classificação final é a média ponderada da classificação dos trabalhos (50%) e do exame (50%). 

Por razões da pandémia e em consequência da última deliberação do conselho pedagógica a avaliação na época de recurso consiste num trabalho que será distribuída aos estudantes com prazo de entrega em 24 horas.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Melhoria de classificação

Por razões da pandémia e em consequência da última deliberação do conselho pedagógica a avaliação na época de recurso consiste num trabalho que será distribuída aos estudantes com prazo de entrega em 24 horas.


Não é permitida a melhoria da classificação na componente de avaliação distribuída para estudantes que tenham obtido aprovação no corrente ano letivo. Aos estudantes do ano lectivo anterior (2019/2020) será atribuido um trabalho que deve ser submetido até 4 dias antes do último dia de aulas.

Observações

A qualquer aluno pode ser exigida a realização de uma prova oral para esclarecer dúvidas que tenham surgido relativamente às provas ou trabalhos de avaliação.