Análise Linear

Código:

M3003

Sigla:

M3003

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2019/2020 - 2S

Ativa?	Não
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	0	Plano de estudos a partir de 2014	2	-	6	56	162
			3
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:M	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

 Aquisição por parte dos alunos de proficiência nos principais conceitos e teoremas  de Análise Funcional em espaços de Banach e em espaços de Hilbert, com aplicação aos espaços funcionais clássicos.

Resultados de aprendizagem e competências

1. Aquisição por parte dos alunos de proficiência nos principais conceitos e teoremas  de Análise Funcional em espaços de Banach e em espaços de Hilbert, com aplicação aos espaços funcionais clássicos.

a. Em espaços de Banach: normas, normas equivalentes, espaço das aplicações lineares contínuas, espaço dual, espaço bidual, espaços de Banach reflexivos, topologias fracas.  Capacidade de utilização dos chamados quatro pilares da Análise Funcional: teoremas de  Hanh-Banach, da aplicação aberta, do gráfico fechado e princípio da limitação uniforme. Topologias fracas. Teoremas de ponto fixo de Banach, Brouwer e Schauder.

b. Em espaços de Hilbert: ortogonalidade, teorema de representação de Riesz, separabilidade, famílias e bases ortonormais, operador adjunto, projectores e idempotentes, operadores compactos,  teoria espectral de operadores compactos normais.

2. Aplicaçoes dos resultados que vão sendo obtidos a vários espaços funcionais clássicos: espaços de sucessões, de funções contínuas, de funções integráveis.  Se o tempo permitir será feita a título de exercício uma aplicação aos sistemas de Sturm-Liouville da teoria dos operadores compactos autoadjuntos em espaços de Hilbert. Serão propostos como exercícios ao longo do semestre o estudo de operadores lineares e espaços funcionais relevantes em algumas aplicações.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I, II, III, Análise Complexa, Álgebra Linear e Geometria Analítica.

É desejável que o aluno tenha frequentado Introdução à Topologia.

Programa

I. Espaços vectorias normados e espaços de Banach reais e complexos:

1. Noçoes gerais: norma, métrica associada, bolas abertas e fechadas. Sucessões e séries num espaço normado. Sucessões de Cauchy e sucessões de Cauchy rapidamente convergentes. Espaço de Banach. Aplicações lineares contínuas.  Espaço normado das aplicações lineares contínuas entre dois espaços normados. Teorema do ponto fixo de Banach.

2. Normas equivalentes: equivalência das normas num espaço vectorial real ou complexo de dimensão finita. Caracterização dos espaços normados localmente compactos como os que têm  dimensão finita. Somas e produtos de espaços normados, quociente de um espaço normado por um seu subespaço fechado.


3. Espaços de funções com a norma da convergência uniforme, definidos num espaço métrico e valores num espaço normado : espaço de funções limitadas  definidas num espaço métrico/topológico com valores num espaço normado, subespaço das funções contínuas limitadas,  subespaço das funções contínuas com suporte compacto, subespaço das funções contínuas que se anulam no infinito.  Espaços  de Banach de funções de classe $C^k$. Espaços de sucessões clássicos como casos particulares.

4. Teorema de Dini para sucessões  monótonas de funções contínuas definidas   num espaço compacto e que tomam valores reais. Teorema de Stone-Weierstrass.

5. Equicontinuidade e teorema de Ascoli-Arzéla.

6. Extensão de uma aplicação  linear contínua definida num subespaço denso de um espaço de Banach com valores noutro espaço de Banach.  Completamento de um espaço normado.

7. Teorema de categoria de Baire. Teorema da aplicação aberta. Teorema do isomorfismo de Banach.

8.  Teorema do gráfico fechado. Princípio da limitação uniforme. Teorema de Banach-Steinhaus.

9. Teoremas do ponto fixo de Brouwer e Schauder.

10. Dual e bidual topológicos  de um espaço normado. Teorema de Hahn-Banach na forma analítica e na forma geométrica. Espacos de Banach reflexivos. 
Transposta (ou adjunta) de uma aplicação linear contínua. Teorema da imagem fechada.

11. Convergência fraca e convergência *-fraca num espaço de Banach. Teorema de Banach-Alaoglu.

12. Desigualdades de Young, de Holder e de Minkowski (discretas e contínuas).
Espaço de funções p-integráveis à Riemann em compactos de R^d.  Demonstração da não completude desses espaços normados (1<=p< \infty) .

13. Integral de Lebesgue em espaços euclideanos como extensão do integral de Riemann na norma L^1 do espaço das funções contínuas com suporte compacto.



II. Espaços de Hilbert:

1. Noçoes gerais: Formas sesquilineares e  produtos escalares. Identidade de polarização, desigualdade de Cauchy-Schwarz, norma associada a um produto escalar, lei lo paralelogramo,teorema de Pitágoras. Espaço pré-hilbertiano, espaço de Hilbert. Ortogonalidade de vectores e de subspaços vectoriais, biortogonal de um subespaço vectorial.  

2. Soma hilbertiana de espaços de Hilbert. Projecção ortogonal sobre um convexo fechado. Decomposição de um espaço de Hilbert como soma hilbertiana de um subsepaço fechado com o seu ortogonal. Teorema de representação de Riesz do dual topológico de um espaço de Hilbert. Completamento de um espaço pré-hilbertiano. Topologia fraca num espaço de Hilbert.

3. Família total, família ortonormal e base ortonormal num espaço de Hilbert. Extensão de uma família ortonormal  a uma base ortonormal. Dimensão dum espaço de Hilbert.  Espaços de Hilbert separáveis. Ortonormalização de Gram-Schmidt de uma família total. Desigualdade de Bessel, identidade de Parseval. Séries de Fourier em espaços de Hilbert. Espaços de Hilbert  isométricos.

4. Adjunto de um operador linear contínuo entre espaços de Hilbert e suas propriedades. Operadores autoadjuntos e operadores normais. Caracterização dos operadores lineares  invertíveis em termos do operador adjunto.

5.  Projecções, idempotentes, operadores unitários, isometrias parciais e subespaços invariantes.

6. Operadores compactos em espaços de Hilbert.

7. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos e normais.

Bibliografia Obrigatória

Carlos Menezes; Apontamentos de Análise Linear-2019-2020

Bibliografia Complementar

Kreyszig; Introductory functional analysis with applications
Pedersen, Gert; Analysis Now, Springer

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição pelo professor dos conteúdos programáticos em aula TP.

Resolução pelos alunos em aula TP    de exercícios propostos pelo professor

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Análise funcional

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não será feito controlo de assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação será a obtida no exame final

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer tipo de avaliação especial poderá revestir uma das seguintes formas: exclusivamente uma prova oral; uma prova oral e uma prova escrita,  somente uma prova escrita. A opção por uma das alternativas compete exclusivamente ao docente responsável  pela unidade curricular.