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Equações às Derivadas Parciais e Análise de Fourier

Código: M3006     Sigla: M3006     Nível: 300

Áreas Científicas
Classificação Área Científica
OFICIAL Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 1S

Ativa? Sim
Unidade Responsável: Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável: Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla Nº de Estudantes Plano de Estudos Anos Curriculares Créditos UCN Créditos ECTS Horas de Contacto Horas Totais
L:B 0 Plano de Estudos Oficial 3 - 6 56 162
L:CC 0 Plano de estudos a partir de 2014 2 - 6 56 162
3
L:F 4 Plano de Estudos Oficial 2 - 6 56 162
3
L:G 0 Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18 3 - 6 56 162
L:M 26 Plano de Estudos Oficial 2 - 6 56 162
3
L:Q 0 Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17 3 - 6 56 162

Docência - Responsabilidades

Docente Responsabilidade
Semyon Borisovich Yakubovich Regente

Docência - Horas

Teorico-Prática: 4,00
Tipo Docente Turmas Horas
Teorico-Prática Totais 1 4,00
Semyon Borisovich Yakubovich 4,00

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Estudar os fundamentos matemáticos das séries de Fourier e a aplicação dessas séries à resolução de problemas clássicos envolvendo equações de derivadas  parciais. Entender a transformada de Fourier como caso limite (ou "contínuo") das séries de Fourier.

Resultados de aprendizagem e competências

Assimilar os objectivos definidos no parágrafo anterior.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisito: conhecimentos de Análise (correspondente ao conteúdo das cadeiras de Análise Real I, II e III) e de Álgebra Linear (noção de espaço vectorial e de produto interno).

Programa

1) Funções periódicas.

2) Convergência pontual e convergência uniforme de séries de funções.

3) Série trigonométrica de Fourier de uma função de período 2pi (com menção de outros períodos); forma complexa da série de Fourier.

4) Funções L1 e funções de quadrado integrável.

5) Lema de Riemann-Lebesgue e desigualdade de Bessel.

6) Núlceo de Dirichlet. Condições para a convergência pontual e convergência uniforme das séries de Fourier.

7) Núcleos de Dirac. Teorema da aproximação de Weierstrass.

8) Convergência à Cesàro de uma série de Fourier (teorema de Fejér). Identidade de Parseval.

9) Aplicação das séries de Fourier às equações às derivadas parciais: equação do calor e equação da corda vibrante.

10) Transformada de Fourier como caso limite das séries de Fourier. Transformada inversa de Fourier.

11) Uso da transformada de Fourier na resolução de equações diferenciais.

12) Convolução de duas funções. Fórmula de Plancherel-Parseval.

Bibliografia Obrigatória

Gueorgui Smirnov; Curso de Análise Linear, Porto Editora, 2003

Bibliografia Complementar

Figueiredo Djairo Guedes; Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. ISBN: 85-244-0026-9

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria em aulas teóricas, pontualmente completada pela resolução de exercícios.

Palavras Chave

Ciências Físicas
Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Análise de Fourier
Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação Peso (%)
Exame 100,00
Total: 100,00

Componentes de Ocupação

Designação Tempo (Horas)
Estudo autónomo 103,00
Frequência das aulas 56,00
Trabalho escrito 3,00
Total: 162,00

Obtenção de frequência

Ordinária

Fórmula de cálculo da classificação final

exame final: 100%
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