Introdução à Topologia

Código:

M3008

Sigla:

M3008

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	0	Plano de estudos a partir de 2014	2	-	6	56	162
			3
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	3	-	6	56	162
L:M	24	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Familiaridade com a área da Matemática que proporciona a fundamentação mais geral e elegante para boa parte da Análise. Compreensão do conceito de compacidade, uma das grandes contribuições da Topologia para várias outras áreas da Matemática.

Resultados de aprendizagem e competências

Capacidade de resolver problemas de topologia de vários tipos. Autonomia na resolução de exercícios.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

(A) ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Espaço topológico, aberto, fechado, exemplos, topologia euclidiana, base e sub-base de uma topologia, ponto de acumulação, aderência, interior, exterior, fronteira, subconjunto denso, vizinhança, espaço conexo, topologia de subespaço, homeomorfismo, propriedades topológicas, função contínua, imagem contínua de um conexo, espaço conexo por arcos, teorema do valor intermédio, teorema do ponto fixo de Brouwer.

(B) ESPAÇOS MÉTRICOS

Espaço métrico, bolas abertas e fechadas, topologia definida por um espaço métrico, espaço metrizável, espaço Hausdorff, sucessão convergente e de Cauchy, espaço métrico completo, teorema de Bolzano-Weierstrass, isometria, mergulho isométrico, completamento de um espaço métrico, espaço de Banach, teorema do ponto fixo de Banach.

(C) COMPACIDADE

Cobertura, compacto, propriedades dos compactos, teorema de Heine-Borel, toda a sucessão num espaço métrico compacto admite uma subsucessão convergente, todo o espaço métrico compacto é completo, continuidade uniforme, teorema de Heine-Cantor.

(D) PRODUTOS E QUOCIENTES

Topologia produto, funções abertas e fechadas, projeções e suas propriedades, teorema de Tikhonov (caso finito), teorema de Heine-Borel para dimensões mais elevadas, função quociente e espaço quociente, teoremas envolvendo compacidade.

Bibliografia Obrigatória

Sidney A. Morris; Topology without tears, 2018 (Online, http://www.topologywithouttears.net/topbook.pdf)

Bibliografia Complementar

Lima Elon Lages; Espacos métricos
Lima Elon Lages; Elementos de topologia geral
Munkres James R.; Topology. ISBN: 978-1-292-02362-5

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teórico-práticas com exposição dos conteúdos, discussão de exemplos e resolução de exercícios.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	52,00
Total:	158,00

Obtenção de frequência

Sem requisitos.

Fórmula de cálculo da classificação final

A matéria desta UC será dividida em duas partes, cada uma avaliada por um teste cotado para 10 valores.

 

O segundo teste realiza-se na altura marcada para o exame da época normal. No mesmo dia, haverá a possibilidade de repetição do primeiro teste, prevalecendo a nota aí obtida para os estudantes que assim o decidam.

Época normal:

1. A classificação final da época normal é a soma das classificações dos dois testes, excepto eventualmente no seguinte caso.

2. Notas superiores a 18 só serão concedidas após a realização de uma prova complementar (oral ou escrita).

 

Época de recurso:

1. No exame da época de recurso os estudantes podem repetir novamente os dois testes ou somente um deles (exceto nos casos de melhoria).

2. A classificação de cada parte na época de recurso será a melhor entre as classificações obtidas nos respetivos testes da época normal e de recurso (exceto nos casos de melhoria).

3. A classificação final da época de recurso será a soma das classificações das 2 partes, arredondada à unidade, excepto eventualmente nos casos considerados a seguir.

4. Os alunos que tenham obtido uma classificação igual ou superior a 8,0 valores e inferior a 9,5 valores terão acesso a uma prova complementar para decidir sobre a sua aprovação (com 10 valores) ou reprovação (com 8 ou 9 valores).

5. Notas superiores a 18 só serão concedidas após a realização de uma prova complementar (oral ou escrita).