Análise Funcional

Código:

M4053

Sigla:

M4053

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:M	5	Plano de Estudos do M:Matemática	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Estudo de espaços vectoriais topológicos e respectivos duais, explorando propriedades de operadores neles definidos. Discussão de algumas aplicações relevantes.

Resultados de aprendizagem e competências

Dominar o uso de certos espaços vectoriais e topologias que são relevantes em Análise e as suas aplicações.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Álgebra Linear, Análise Real, Topologia, Teoria da Medida

Programa

1. Preliminares:
(a) Topologia: Espaços topológicos. Conexão, compacidade e completude. Funções continuas em espaços métricos compactos. Teoremas de Baire e de Arzelà-Ascoli. Exemplos.

(b) Medida e integração: Espaços de medida. Funções mensuráveis e integráveis. Integrais de Riemann e de Lebesgue. Medidas em espaços topológicos. Exemplos.

2. Espaços vectoriais topológicos. Exemplos normados: R^n e p-normas, L^p e l^p para 0 < p < 1;  C^0([0,1]). Espaços de Banach. Aplicações lineares limitadas. Funcionais e extensões. Complementares topológicos. Espaços duais. Topologias fracas. Densidade de funções contínuas. Convolução. Transformada de Fourier em L^1.

3. Espaços vectoriais topológicos com um produto interno. Ortogonalidade. Bases ortonormais. Formas sesquilineares. Somas diretas. Séries de Fourier. Transformada de Fourier em L^2.

4. Operadores limitados. Operador adjunto. Espectro e resolvente. Operadores compactos. Projecções e representações espectrais.

5. Espacos localmente convexos. Famílias de seminormas. Espaços de Fréchet e de Schwartz.  Distribuições temperadas. Espaços de Sobolev.


6. Algumas aplicações.
(a) Existência de probabilidades invariantes por aplicações contínuas em espaços métricos compactos; Teorema ergódico de von Neumann.
(b) Teoremas de Bishop e Stone-Weierstrass.
(c) Teorema dos Números Primos e função zeta de Riemann.
(d) Existência de soluções fundamentais de equações às derivadas parciais.
(e) Espaços de Hilbert em Mecânica Quântica.
(f) Existência de medida de Haar em qualquer grupo compacto.

Bibliografia Obrigatória

Rudin Walter; Functional analysis. ISBN: 0-07-054225-2
Reed Michael; Methods of modern mathematical physics. ISBN: 0-12-585001-8 (Vol. I)
Rudin Walter; Real and complex analysis. ISBN: 0-07-054233-3

Bibliografia Complementar

Sobolev S. L.; Applications of functional analysis in mathematical physics
Lacroix-Sonrier Marie-Thérèse; Distributions, espaces de Sobolev. ISBN: 2-7298-6823-2
Simon Barry; Functional integration and quantum physics. ISBN: 0-12-644250-9
Curtain Ruth F.; Functional analysis in modern applied mathematics. ISBN: 0-12-196250-4
Krinik Alan C. 340; Stochastic processes and functional analysis. ISBN: 0-8247-5404-2
Telser Lester G.; Functional analysis in mathematical economics. ISBN: 0-226-79190-4
Honig Chaim S.; Aplicações da topologia à análise

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição do conteúdo realizada pelo docente. Disponibilização de listas de exercícios. Indicação de bibliografia sobre os fundamentos e aplicações do conteúdo escolhido para a unidade curricular.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Análise funcional

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Apresentação/discussão de um trabalho científico	40,00
Exame	60,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Apresentação/discussão de um trabalho científico	16,00
Estudo autónomo	84,00
Frequência das aulas	56,00
Trabalho escrito	6,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não há registo de faltas.

Fórmula de cálculo da classificação final

Um seminário (0 a 8 valores) e um exame escrito (0 a 12 valores).

Observações

O artigo 13º do Regulamento Geral para Avaliação dos Discentes de Primeiros Ciclos, de Ciclos de Estudos Integrados de Mestrado e de Segundos Ciclos da U.Porto estabelece que: A fraude cometida na realização de uma prova, em qualquer das suas modalidades, implica a anulação da mesma e a comunicação ao órgão estatutariamente competente para eventual processo disciplinar.