Análise Real I
Áreas Científicas |
Classificação |
Área Científica |
OFICIAL |
Matemática |
Ocorrência: 2018/2019 - 1S
Ciclos de Estudo/Cursos
Língua de trabalho
Português - Suitable for English-speaking students
Objetivos
Desenvolver a teoria básica do cálculo diferencial e integral das funções reais de uma variável real.
Resultados de aprendizagem e competências
Ao completar a disciplina os estudantes devem:
- conhecer e saber aplicar na resolução de problemas os conceitos e técnicas básicas do cálculo diferencial e integral das funções reais de uma variável real;
- compreender e saber utilizar processos de limite na análise matemática;
- conseguir distinguir entre argumentos heurísticos e rigorosos e, em casos simples, saber construir argumentos rigorosos.
Modo de trabalho
Presencial
Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)
Conhecimentos correspondentes à prova de Matemática A do ensino secundário português.
Programa
1. Os números reais e as funções transcendentes básicas.
Supremo e ínfimo. Completude dos números reais. Existência da raiz de ordem n de um número real positivo. Intervalos e a sua caraterização. Comprimento de arco na circunferência unitária; as funções trigonométricas e as suas inversas. Funções exponencial, logaritmo e hiperbólicas.
2. Limites e continuidade
Sucessões: convergência, propriedades básicas e aritmética de limites. Limite de uma função real de variável real num ponto de acumulação do seu domínio. Limites laterais. Limites infinitos impróprios. Caraterização do limite de Heine usando sucessões. Continuidade de funções reais de variável real. Teoremas fundamentais sobre funções contínuas: Teorema do valor intermédio e Teorema de Bolzano, existência de extremos de uma função contínua num intervalo fechado e limitado (Weierstrass).
3. Cálculo diferencial
Derivabilidade e derivada de uma função. Aproximação linear. A derivada de somas e produtos de funções deriváveis, a derivada da composta, o teorema da função inversa. Derivadas das funções exponencial e trigonométricas e as suas inversas. Teorema do Valor Intermédio (Lagrange). Derivadas de ordem superior. Extremos e pontos de inflexão. Convexidade. Polinómio de Taylor de ordem n. Regra de l'Hôpital. Método de Newton. Primitivas. Unicidade da primitiva, a menos de uma constante arbitrária, de uma função definida num intervalo. Aplicações da derivada (velocidade, aceleração).
4. Cálculo integral
O integral de Riemann. Integrabilidade de funções contínuas. O Teorema Fundamental do Cálculo. Integração por partes e por substituição. Técnicas de primitivação. Integrais impróprios. Aplicações do integral (área, volume, comprimento, trabalho). Introdução às equações diferenciais separáveis.
5. Séries
Séries numéricas: convergência e convergência absoluta. Critérios de convergência: comparação, quociente, raiz e integral. Séries alternadas. Convergência uniforme de séries de funções. Séries de potências. Raio de convergência. Integração e derivação de séries de potências. Fórmula de Taylor com resto integral. Séries de Taylor e funções analíticas. Aplicações das séries de potências (aproximação, equações diferenciais). A função exponencial complexa.
Bibliografia Obrigatória
Lax, Peter D. and Terrell, Maria Shea; Calculus With Applications, Springer, 2014. ISBN: 978-1-4614-7946-8 (E-book disponível em https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4614-7946-8 para quem está ligada à rede da FCUP)
Bibliografia Complementar
Marsden Jerrold;
Calculus i. 2nd ed. ISBN: 0-387-90974-5
Marsden Jerrold;
Calculus ii. 2nd ed. ISBN: 0-387-90975-3
Stewart James 1941-;
Calculus. ISBN: 978-1-305-27237-8
Lima Elon Lages;
Analise real. vol. 1. 3ª ed. ISBN: 85-244-0048-X
Métodos de ensino e atividades de aprendizagem
Participação nas aulas teóricas/teórico-práticas e trabalho autónomo. Os estudantes devem participar nas aulas de forma ativa.
Palavras Chave
Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática
Tipo de avaliação
Avaliação distribuída com exame final
Componentes de Avaliação
Designação |
Peso (%) |
Exame |
95,00 |
Teste |
5,00 |
Total: |
100,00 |
Componentes de Ocupação
Designação |
Tempo (Horas) |
Estudo autónomo |
159,00 |
Frequência das aulas |
84,00 |
Total: |
243,00 |
Obtenção de frequência
O cumprimento da assiduidade não é obrigatório.
Fórmula de cálculo da classificação final
Minitestes semanais no moodle (facultativos): 5%
Exame final: 95%
Para ter nota final superior a 17 valores pode ser exigida ao estudante a realização de uma prova suplementar oral ou escrita.
Avaliação especial (TE, DA, ...)
Através de prova oral e/ou escrita.
Melhoria de classificação
Por realização de exame. A nota dos minitestes não pode ser usada.