Análise Real III

Código:

M2010

Sigla:

M2010

Nível:

200

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Biologia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	0	Plano de estudos a partir de 2014	2	-	6	56	162
			3
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:M	108	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introduzir, de uma forma concreta, os resultados principais da Análise Clássica de funções de várias variáveis assim como os da Análise Vectorial, enfatizando técnicas específicas desta área assim como suas aplicações.

Resultados de aprendizagem e competências

Pretende-se que o estudante no final da unidade curricular tenha adquirido suficiente domínio e compreensão dos fundamentos e resultados principais constantes do programa, incluindo as respectivas técnicas.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1) O Espaço Euclidiano: produto interno, norma e distância usuais. Propriedades básicas.
2) Noção de espaço métrico. Bolas abertas e bolas fechadas. Ponto interior, ponto fronteira, ponto de aderência e ponto de acumulação; interior, aderência e fronteira de um conjunto. Abertos, fechados e vizinhanças.

3) Caminhos de classe C^1 em R^n. Operações sobre caminhos. Campos de vectores. Integrais de linha. Campos de gradientes e campos conservativos. Campos de vectores fechados. Teorema de Green.
4) Superfícies parametrizadas e superfícies regulares em R^3. Espaço tangente, espaço normal, plano tangente e recta normal. Área de uma porção de superfície; integral de uma função escalar ao longo de uma superfície. Orientação.  
5) Divergência de um campo de vectores. Fluxo de um campo de vectores ao longo de uma superfície. Rotacional. Teoremas de Stokes e de Gauss.
5') Aplicações: Lei de Gauss...

6) Sucessões convergentes e sucessões de Cauchy. Continuidade. Espaços métricos completos. Espaços compactos. Espaços conexos e espaços conexos por arcos.
7) Funções de Lipchitz e contracções. Teorema de Banach sobre pontos fixos de contracções. Espaços de funções. Convergência pontual e convergência uniforme.
8) Teoremas da função inversa e da função implícita.
8') Aplicações: multiplicadores de Lagrange...

Bibliografia Obrigatória

Marsden, Tromba; Vector Calculus, W. H. Freeman and Company, 1988. ISBN: 0-7167-1856-1
Marsden, Hoffman; Elementary Classical Analysis, W. H. Freeman and Company, 1993. ISBN: 0-7167-2105-8
Elon Lages Lima; Espaços Métricos, Projecto Euclides, 2003. ISBN: 85-244-0158-3

Bibliografia Complementar

Munkres James R.; Analysis on manifolds. ISBN: 0-201-51035-9
Serge Lang; Calculus of Several Variables, Springer, 1987. ISBN: 0-387-96405-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria no quadro. Interligação forte entre as aulas teóricas e as aulas teórico-práticas quer a nível de exercícios e de exemplos quer a nível de resultados teóricos.

Uma vez que as aulas de contacto são reduzidas é pressuposto que de foram autónoma mas orientada o estudante recorra à bibliografia obrigatória para complementar a exposição feita na aula teórica, explorar os exemplos e resolver exercícios

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	52,00
Total:	158,00

Obtenção de frequência

Não aplicável

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação UC será dividida em dois testes (2 horas de duração cada), ambos cotados para 10 valores

 O primeiro teste será realizado a meio do semestre, o segundo teste será realizado durante a época de exames da época normal. A classificação final da época normal é a soma das classificações dos dois testes (que deverá ser igual ou superior a 9,5 valores), excepto no caso de classificações superiores a 17, que irão requerer uma prova escrita complementar de valorização.

 

Época de recurso:

- no exame da época de recurso o estudante pode repetir novamente os dois testes ou somente um deles (excepto nos casos de melhoria);

- a classificação de cada parte na época de recurso será a melhor entre as classificações obtidas nos respetivos testes da época normal e de recurso (excepto nos casos de melhoria);

- a classificação final da época de recurso será a soma das classificações das 2 partes, arredondada à unidade, excepto no caso de classificações superiores a 17, que irão requerer uma prova de valorização escrita.

- o estudante, aprovado  na época normal de 2018/19, que pretenda efectuar melhoria de classificação na época de recurso poderá realizar apenas uma ou as duas partes correspondentes aos dois testes da época normal. As duas classificações parciais obtidas na época normal estão garantidas;

- nos restantes casos de melhoria de classificação o estudante tem que realizar a prova completa.

 

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