Análise Real I

Código:

M1017

Sigla:

M1017

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2017/2018 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=2061
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:F	79	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	84	243
			3
MI:EF	82	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	1	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Desenvolver a teoria básica do cálculo diferencial e integral das funções reais de uma variável real.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar a disciplina os estudantes devem:

- conhecer e saber aplicar os conceitos e técnicas básicas do cálculo diferencial e integral das funções reais de uma variável real;

- compreender e saber utilizar processos de limite na análise matemática;

- conseguir distinguir entre argumentos heurísticos e rigorosos e, em casos simples, saber construir argumentos rigorosos.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1. Os números reais e as funções transcendentes básicas.

Supremo e ínfimo. Completude dos números reais. Existência da raiz de ordem n de um número real positivo. Intervalos e a sua caraterização. Comprimento de arco na circunferência unitária; as funções trigonométricas e as suas inversas. Funções exponencial, logaritmo e hiperbólicas.

2. Limites e continuidade

Sucessões: convergência, propriedades básicas e aritmética de limites. Limite de uma função real de variável real num ponto de acumulação do seu domínio. Limites laterais. Limites infinitos impróprios. Caraterização do limite  de Heine usando sucessões. Continuidade de funções reais de variável real. Teoremas fundamentais sobre funções contínuas: Teorema do valor intermédio e Teorema de Bolzano, existência de extremos de uma função contínua num intervalo fechado e limitado (Weierstrass).

3. Cálculo diferencial

Derivabilidade e derivada de uma função. Aproximação linear. A derivada de somas e produtos de funções deriváveis, a derivada da composta, o teorema da função inversa. Derivadas das funções exponencial e trigonométricas e as suas inversas. Teorema do Valor Intermédio (Lagrange). Derivadas de ordem superior. Extremos e pontos de inflexão. Convexidade. Polinómio de Taylor de ordem n. Regra de l'Hôpital. Método de Newton. Primitivas. Unicidade da primitiva, a menos de uma constante arbitrária, de uma função definida num intervalo. Aplicações da derivada (velocidade, aceleração).

4. Cálculo integral

O integral de Riemann. Integrabilidade de funções contínuas. O Teorema Fundamental do Cálculo. Integração por partes e por substituição. Técnicas de primitivação. Integrais impróprios.  Aplicações do integral (área, volume, comprimento, trabalho). Introdução às equações diferenciais separáveis.

5. Séries

Séries numéricas: convergência e convergência absoluta. Critérios de convergência: comparação, quociente, raiz e integral. Séries alternadas. Convergência uniforme de séries de funções. Séries de potências. Raio de convergência. Integração e derivação de séries de potências. Fórmula de Taylor com resto integral. Séries de Taylor e funções analíticas. Aplicações das séries de potências (aproximação, equações diferenciais). A função exponencial complexa.

Bibliografia Obrigatória

Lax, Peter D. and Terrell, Maria Shea; Calculus With Applications, Springer, 2014. ISBN: 978-1-4614-7946-8 (E-book disponível em https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4614-7946-8 para quem está ligada à rede da FCUP)

Bibliografia Complementar

Marsden Jerrold; Calculus i. 2nd ed. ISBN: 0-387-90974-5
Marsden Jerrold; Calculus ii. 2nd ed. ISBN: 0-387-90975-3
Lima Elon Lages; Analise real. vol. 1. 3ª ed. ISBN: 85-244-0048-X

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Participação nas aulas teóricas/teórico-práticas e trabalho autónomo. Os estudantes devem participar nas aulas de forma ativa.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	80,00
Teste	20,00
Total:	100,00

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação tem as seguintes componentes:

(a) 2 minitestes a realizar durante o semestre com peso total de 20%.

(b) Exame final com peso de 80%. No exame final os estudantes poderão ainda optar por responder a um grupo de perguntas correspondente a cada miniteste, com o peso correspondente no cálculo da nota final.

Para ter nota final superior a 17 valores pode ser exigida ao estudante a realização de uma prova suplementar oral ou escrita.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Através de prova oral e/ou escrita. As notas dos minitestes não podem ser usadas para este efeito.

Melhoria de classificação

Por realização de exame. As notas dos minitestes não podem ser usadas para este efeito.