Análise Real III

Código:

M2010

Sigla:

M2010

Nível:

200

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2017/2018 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=2056
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Biologia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	0	Plano de estudos a partir de 2014	2	-	6	56	162
			3
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
L:G	5	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:M	74	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Introduzir conceitos elementares sobre espaços métricos,  sucessões e séries de funções,  teorema da função inversa e teorema da função implícita,  subvariedades de Rn, extremos de funções em subvariedades definidas como pré-imagem de  valores regulares de funções indefinidamente deriváveis,   teoremas clássicos de Análise Vectorial.

Resultados de aprendizagem e competências

Competência de resolução de problemas, compreensão dos conceitos teóricos e prácticos leccinonados no curso.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Cálculo diferencial e integral em várias variáveis: derivadas parciais, integrais múltiplas. Álgebra Linear e Geometria Analítica.

Programa

Noções fundamentais  sobre espaços métricos aplicados aos espaços euclideanos: abertos  fechados, convergência de sucessões, funções contínuas,  espaços métricos completos, compactos em R^n, teorema de existência de extremos para uma função contínua num compacto, número de cobertura de Lebesgue. Espaços conexos e conexos por arcos.

Sucessões e séries de funções. Convergência simples e convergência uniforme. Convergência uniforme e
implicações para a  continuidade e integrabilidade à Riemann. Caso especial das séries de potências. Séries de Taylor das funções elementares.

Teorema da função inversa. Teorema da funcão implícita.

Imersões, submersões e mergulhos.

Subvariedades de Rn, definidas como imagem inversa de um valor regular de uma aplicação diferenciável. Equivalência a  ser uma região de Rn localmente parametrizável por um mergulho.  Espaço tangente num ponto, espaço normal num ponto.

Densidade de volume. Integrais de superfície.

Gradiente de uma função escalar.  Máximos e mínimos condicionados, multiplicadores de Lagrange.

Campos de vectores. Formas diferenciais de grau 1. Forma diferencial trabalho associada a um campo de vectores.

Caminhos seccionalmente de classe C1. Integrais de formas diferenciais de grau 1 ao longo de um caminho.  Campos de vectores conservativos. Teorema de Green.

Orientação de um espaço vectorial real. Orientação de uma hipersuperfície compacta de Rn.

Divergência de um campo de vectores. Fluxo total  de um campo de vectores ao longo de uma  hiper-superfície. Teorema da divergência.

Rotacional de um campo de vectores definido num aberto do espaço euclideano R3 munido de uma orientação. Teorema de Stokes.

Laplaciano de uma função escalar. Fórmulas de Green.

Bibliografia Obrigatória

Carlos Menezes; Apontamentos de Análise Real III, 2017-2018

Bibliografia Complementar

Marsden Jerrold E. 1942-2010; Elementary classical analysis. ISBN: 0-7167-0452-8
Lang Serge; Calculus of several variables. ISBN: 0-387-96405-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria nas aulas teóricas.
Exercícios propostos na página da disciplina, discutidos nas aulas teórico-práticas.

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Fórmula de cálculo da classificação final

Exame final com peso de 100%

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer tipo de avaliação especial poderá revestir uma das seguintes formas: exclusivamente uma prova oral; uma prova oral e uma prova escrita,  somente uma prova escrita. A opção por uma das alternativas compete exclusivamente ao docente responsável  pela unidade curricular.