Análise Complexa

Código:

M2008

Sigla:

M2008

Nível:

200

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2016/2017 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	10	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:M	82	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
L:Q	1	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introdução à teoria  das funções holomorfas por via da teoria de Weierstrass das funções analíticas e pela teoria de Cauchy usando integrais ao longo  de caminhos e argumentos .topológicos.

Resultados de aprendizagem e competências

Assimilaçao das noções e teoremas  fundamentais da teoria das funções holomorfas de uma variável complexa

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I, Análise Real II

Programa

I. Revisão de noçoes algébricas e noções métricas/topológicas  elementares: limite inferior e limite superior de uma sucessão de números reais.  Corpo dos  números complexos. C como espaço métrico completo, abertos, fechados, conexos por arcos, compactos de C. Sucessões e séries de números reais e de números complexos. Convergência simples, absoluta e comutativa de séries numéricas, critérios de convergência de séries numéricas: da razão, da raíz, de Leibniz e de Abel. Sucessões e séries de funções complexas com valores complexos. Convergência simples,  convergência uniforme, convergência normal.

II. Funções holomorfas: Derivada de uma função complexa de variável complexa.  Operaçoes com derivadas complexas. Teorema da função inversa. Interpretação da condição de derivabildiade complexa em termos da derivabildiade real. Condições de Cauchy-Riemann. Funções harmónicas.

III, Funções Analíticas Complexas: raio de convergência, soma,  produto e quociente (quando definido) de  séries de potências complexas, holomorfia das séries de potências convergentes.  Funções analiiticas, Princípio do prolongamento analítico e princípio dos zeros isolados.  analiticidade das séries de potências convergentes. Funções exponencial complexa, ramos do logaritmo, funções trigonométricas e hiperbólicas complexas.

iV. Teoremas fundamentais das funções homomorfas: teorema de Cauchy num disco,  analiticidade das funções homoorfas,  desigualdades de Cauchy,  teorema de Liouville, teorema de d'Alembert-Gauss (teorema fundamental da álgebra), princípio do módulo máximo, teorema da aplicação aberta.

V. Teoria de Cauchy de funções holomorfas: caminhos e lacetes, num aberto de C, homotopia de caminhos e homotopia de lacetes, abertos simplesmente conexos. Integrais ao longo de caminhos,    teoremas de Goursat  e de Morera. Fórmula integral de Cauchy. Primitivabilidade de funções holomorfas definidas em abertos simplesmente conexos, índice de um ponto relativamente a um lacete.

VI. Pontos singulares e funções meromorfas: teorema de Cauchy numa coroa aberta,  séries de Laurent e teorema de Laurent, classificação dos pontos singulares isolados, teorema de Riemann de remoção de singularidades  funções meromorfas . A esfera de Riemann, Singularidades essenciais. Teorema de Casorati-Weierstrass.

VII. Teorema dos Resíduos e aplicações: Resíduo de uma função meromorfa num pólo. teorema dos resíduos. Número de zeros e pólos de uma função meromorfa (princípio do argumento). Teorema de Rouché. Aplicação do teorema dos residuos ao cálculo de integrais devariável real  de funções trigonométricos,   de funções racionais,. e de integrais do tipo  tranformação de Fourier.

 

Bibliografia Obrigatória

Carlos Menezes;; Apontamentos de Análise Complexa, 2016 (A serem disponibilizados durante o semestre)

Bibliografia Complementar

Matos Aníbal Coimbra A. de; Curso de análise complexa. ISBN: 9789725921159
Cartan Henri; Théorie élémentaire des fonctions analytiques d.une ou plusieurs variables complexes
Remmert Reinhold; Theory of complex functions. ISBN: 0-387-97195-5

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição dos assuntos nas aulas teóricas, acompanhados de exemplos, exercícios para resolver em aula ou fora dela, proposição e resolução de exercícios nas aulas teórico-prácticas, atendimento de alunos no horário de dúvidas

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final é a nota obtida no exame final.