Análise Real I

Código:

M1011

Sigla:

M1011

Nível:

100

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2016/2017 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	4	Plano de Estudos Oficial	3	-	9	84	243
L:M	98	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	84	243
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Adquirir o conhecimento dos conceitos, resultados e técnicas básicas do cálculo diferencial e integral de uma variável real.

Resultados de aprendizagem e competências

O estudante deve dominar os conceitos e resultados básicos da análise de funções reais de uma variável real, nomeadamente: sucessão, série, derivada, primitiva, integral e série de Taylor. Pretende-se também que a unidade contribua para que os alunos trabalhem com rigor conceitos que, anteriormente, foram introduzidos somente de modo intuitivo.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

0. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 

Estrutura algébrica, ordem e completude. 

1. LIMITES E CONTINUIDADE

Sucessões: definição e unicidade de limite, sucessões monótonas e limitadas, subsucessões.
Definição e unicidade de limite de uma função num ponto. Limites laterais e aritmética de limites.  Caracterização de Heine de limite.
Limites no infinito e assímptotas horizontais e oblíquas. Limites infinitos e assímptotas verticais.
Funções contínuas. 

2. DERIVADAS E PRIMITIVAS

Motivação geométrica e significado físico da noção de derivada de uma função real de variável real num ponto. Definição de derivada e derivadas laterais num ponto. Primitivas. Derivadas e primitivas de funções elementares.  Relação entre continuidade e derivabilidade. Teorema do enquadramento de limites. Derivada e primitiva da soma e produto por um escalar. Derivada do produto e do quociente. Derivada da função composta e regra de primitivação associada. Derivada da função inversa. Inversas das funções trigonométricas e correspondentes derivadas. Notação de diferenciais de Leibniz. Primitivação por substituição. Primitivação por partes. Primitivação de funções racionais.

3. INTEGRAIS

Conceito de área.  Integral de uma função limitada num intervalo. Funções integráveis. Propriedades básicas dos integrais. Média de uma função. A função área. Teorema Fundamental do Cálculo e consequências. Cálculo de integrais. Integração por substituição e limites de integração. Integrais impróprios: caso das funções contínuas definidas em intervalos não limitados e caso das funções contínuas e não limitadas num intervalo.

4. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO DIFERENCIAL E APLICAÇÕES

Teoremas de continuidade: permanência do sinal na vizinhança de um ponto de continuidade, Teorema dos Valores Intermédios, Teorema de Weierstrass.
 Teoremas sobre funções deriváveis: anulamento da derivada nos extremos locais (de funções definidas em abertos), Teoremas da Média de Rolle, Lagrange e Cauchy. Aplicações: determinação de extremos, prova de que uma função com derivada nula num intervalo é constante, determinação de intervalos de monotonia e concavidades, classificação dos pontos críticos. Indeterminações. Regra de L'Hôpital.  Funções de classe c^k.

5. APROXIMAÇÃO POLINOMIAL E SÉRIES

Aproximação polinomial de funções:

Polinómio de Taylor, tangência de grau n de uma função e do seu polinómio de Taylor de ordem n num certo ponto, fórmula de Lagrange para o resto. Aplicação: irracionalidade do número de Neper.

Séries numéricas:

Série de números reais, sucessão das somas parciais, convergência. Séries geométricas e série harmónica. Critério de Leibniz para séries alternadas. Relação entre convergência absoluta e convergência. Critério de comparação. Critérios da razão e do integral para séries de termos positivos.

Bibliografia Obrigatória

000097905. ISBN: 978-0-495-38273-7
000098594. ISBN: 85-221-0479-4 (Vol. I)

Bibliografia Complementar

Spivak, Michael; Calculus, Houston : Publish or Perish, 1994

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria realizada pelo docente. Disponibilização de slides para estudo e apoio às aulas teóricas. Disponibilização de folhas de exercícios com indicação antecipada dos exercícios a serem tratados nas aulas teórico-práticas em cada semana, estimulando o trabalho prévio dos alunos. Disponibilização de outros conteúdos de apoio na página da disciplina. Marcação de horário regular de atendimento para apoio aos alunos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	50,00
Teste	50,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade para a obtenção de frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

- A avaliação consiste num teste obrigatório (50%) e do exame final (50%), também obrigatório.

- Para que o estudantes seja admitido a exame final tem que obter uma classificação igual ou superior a 2 valores no teste

 

 

- Para a obtenção de classificações superiores a 17 valores será realizada uma prova complementar de valorização.

 

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Observações

- Artigo 13º do Regulamento Geral para Avaliação dos Discentes de Primeiros Ciclos, de Ciclos de Estudos Integrados de Mestrado e de Segundos Ciclos da U.Porto, aprovado em 19 de Maio de 2010: "A fraude cometida na realização de uma prova, em qualquer das suas modalidades, implica a anulação da mesma e a comunicação ao órgão estatutariamente competente para eventual processo disciplinar. "