Cálculo Infinitesimal I

Código:

M111

Sigla:

M111

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2015/2016 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	2	Plano de Estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-
L:F	71	Plano de estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-
L:M	112	Plano de estudos a partir de 2009	1	-	7,5	-
MI:EF	63	Plano de Estudos a partir de 2007	1	-	7,5	-

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Adquirir o conhecimento dos conceitos, resultados e técnicas básicas do cálculo diferencial e integral de uma variável real.

Resultados de aprendizagem e competências

O estudante deve dominar os conceitos e resultados básicos da análise de funções reais de uma variável real, nomeadamente: sucessão, série, derivada, primitiva, integral e série de Taylor. Pretende-se também que a unidade contribua para que os alunos trabalhem com rigor conceitos que, anteriormente, foram introduzidos somente de modo intuitivo.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

0. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 

Estrutura algébrica, ordem e completude. 

1. LIMITES E CONTINUIDADE

Sucessões: definição e unicidade de limite, sucessões monótonas e limitadas, subsucessões.
Definição e unicidade de limite de uma função num ponto. Limites laterais e aritmética de limites.  Caracterização de Heine de limite.
Limites no infinito e assímptotas horizontais e oblíquas. Limites infinitos e assímptotas verticais.
Funções contínuas. 

2. DERIVADAS E PRIMITIVAS

Motivação geométrica e significado físico da noção de derivada de uma função real de variável real num ponto. Definição de derivada e derivadas laterais num ponto. Primitivas. Derivadas e primitivas de funções elementares.  Relação entre continuidade e derivabilidade. Teorema do enquadramento de limites. Derivada e primitiva da soma e produto por um escalar. Derivada do produto e do quociente. Derivada da função composta e regra de primitivação associada. Derivada da função inversa. Inversas das funções trigonométricas e correspondentes derivadas. Notação de diferenciais de Leibniz. Primitivação por substituição. Primitivação por partes. Primitivação de funções racionais.

3. INTEGRAIS

Conceito de área: área de um rectângulo, aproximação da área de uma região plana por somas de áreas de rectângulos, propriedades da área, existência de área. Integral de uma função limitada num intervalo. Funções integráveis. Propriedades básicas dos integrais. Média de uma função. A função área. Teorema Fundamental do Cálculo e consequências. Cálculo de integrais. Integração por substituição e limites de integração. Integrais impróprios: caso das funções contínuas definidas em intervalos não limitados e caso das funções contínuas e não limitadas num intervalo.

4. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO DIFERENCIAL E APLICAÇÕES

Teoremas de continuidade: permanência do sinal na vizinhança de um ponto de continuidade, Teorema dos Valores Intermédios, Teorema de Weierstrass.
 Teoremas sobre funções deriváveis: anulamento da derivada nos extremos locais (de funções definidas em abertos), Teoremas da Média de Rolle, Lagrange e Cauchy. Aplicações: determinação de extremos, prova de que uma função com derivada nula num intervalo é constante, determinação de intervalos de monotonia e concavidades, classificação dos pontos críticos. Indeterminações. Regra de L?Hôpital.  Funções de classe c^k.

5. APROXIMAÇÃO POLINOMIAL E SÉRIES

Aproximação polinomial de funções:

Polinómio de Taylor, tangência de grau n de uma função e do seu polinómio de Taylor de ordem n num certo ponto, fórmula de Lagrange para o resto. Aplicação: irracionalidade do número de Neper.

Séries numéricas:

Série de números reais, sucessão das somas parciais, convergência. É condição necessária de convergência de uma série que o respectivo termo geral tenha limite nulo. Séries geométricas e série harmónica. Critério de Leibniz para séries alternadas. Aritmética de séries. Não-associatividade dos termos de uma série e associatividade nas séries convergentes. Não-comutatividade dos termos de uma série e comutatividade nas séries absolutamente convergentes. Relação entre convergência absoluta e convergência. Critério de comparação. Critérios da razão e do integral para séries de termos positivos.

Séries de potências:

Série de potências centrada num ponto, domínio de convergência. Convergência pontual. Intervalo e raio de convergência e sua determinação. Derivação e integração termo a termo de séries de potências (sem demonstração). Séries de Taylor. Determinação da série de Taylor de várias funções elementares e aplicação ao cálculo da soma de séries numéricas.

Bibliografia Obrigatória

000097905. ISBN: 978-0-495-38273-7
000098594. ISBN: 85-221-0479-4 (Vol. I)

Bibliografia Complementar

Spivak, Michael; Calculus, Houston : Publish or Perish, 1994

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria realizada pelos docentes. Disponibilização de slides para estudo e apoio às aulas teóricas. Disponibilização de folhas de exercícios com indicação antecipada dos exercícios a serem tratados nas aulas teórico-práticas em cada semana, estimulando o trabalho prévio dos alunos. Disponibilização de outros conteúdos de apoio na página da disciplina, tais como, por exemplo, provas e resoluções de anos anteriores. Marcação de horário regular de atendimento para apoio aos alunos. Disponibilidade para discussão da prestação de cada aluno nas provas de avaliação distribuída, como forma de ajudar o aluno a aferir a sua evolução e promover a correcção de problemas atempadamente.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade para a obtenção de frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

- Serão realizados três testes, cotados respetivamente para 6 , 8 e 6 valores.

Os testes não são obrigatórios. No entanto, se um aluno optar por entregar um teste, terá de obter um mínimo de 25% da cotação para ser admitido aos testes seguintes.

- O exame final consistirá de três partes correspondentes, cotadas para os mesmos valores.

- Um estudante que obtenha num dos testes classificação igual ou superior a metade da cotação (com arredondamento às décimas) ficará dispensado de resolver a correspondente parte no exame (em qualquer época). No caso de optar por não realizar a correspondente parte no exame, a classificação obtida no teste será a usada para o cálculo da classifcação final.

- Um estudante que obtenha uma classificação mínima de metade da cotação (com arredondamento às décimas) numa das partes do exame poderá usar essa classificação na correspondente parte do exame de uma época posterior.

- Em qualquer caso, se o aluno optar por resolver num exame qualquer uma das partes, será a classificação aí obtida a considerada para classificação final.

- Fica dispensado da totalidade do exame um aluno que tenha obtido soma das classificações dos testes igual ou superior a 9,5. A sua classificação final no caso de não realizar o exame será então a soma das classificações dos testes, excepto eventualmente se obtiver classificação superior a 17 valores (ver abaixo). Caso opte por fazer o exame, será a classificação aí obtida a considerada para classificação final.

- Todos os alunos serão admitidos a exame final.

- Para a obtenção de classificações superiores a 17 valores será realizada uma prova complementar de valorização.

- Apenas na época de recurso poderá eventualmente ser realizada uma prova complementar aos alunos com classificação igual ou superior a 8,5 valores e inferior a 9,5 valores, para decidir sobre a aprovação ou reprovação.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Melhoria de classificação

Não é possível a melhoria de classificação nas componentes de avaliação distribuída.

1. Melhoria de classificação de exame realizado
a. O estudante pode efetuar melhoria de classificação de exame realizado, uma única vez por
unidade curricular, numa das duas épocas de exame final imediatamente subsequentes àquela em
que obteve aprovação.
b. Para efeitos de melhoria, o estudante em mobilidade pode optar pela não contabilização das
épocas relativas aos períodos letivos nos quais está ausente, existindo contudo a possibilidade do
exame ser feito na universidade parceira que acolhe o estudante, caso seja viável.
c. O estudante que verifique as condições de acesso à época especial para conclusão de grau,
incluindo o que concluiu o grau nesse ano letivo mas não solicitou ainda a sua certificação, pode
inscrever-se para melhoria de classificação de exame nessa época, contabilizando essa melhoria
no total de 30 créditos a que o estudante pode ser avaliado.
d. O estudante que deseja fazer exames para melhoria de nota no ano seguinte ao que obteve
aprovação, tem de se cingir aos programas lecionados durante o ano letivo em que terá lugar o
novo exame caso a unidade curricular funcione, mantendo o direito à realização de exame de
melhoria no caso da unidade curricular não funcionar nesse ano letivo.

Observações

- Artigo 13º do Regulamento Geral para Avaliação dos Discentes de Primeiros Ciclos, de Ciclos de Estudos Integrados de Mestrado e de Segundos Ciclos da U.Porto, aprovado em 19 de Maio de 2010: "A fraude cometida na realização de uma prova, em qualquer das suas modalidades, implica a anulação da mesma e a comunicação ao órgão estatutariamente competente para eventual processo disciplinar. "

- Artigo 16º do Regulamento de Avaliação do Aproveitamento dos Estudantes da FCUP:

Fraudes
1. Considera-se fraude, em qualquer momento de uma prova de avaliação, a posse de elementos de
estudo ou consulta não autorizados em qualquer suporte ou a tentativa de comunicar com terceiros,
incluindo quaisquer dispositivos pessoais de comunicação, nomeadamente telemóveis.
2. Considera-se também fraude o plágio de conteúdos para teses, relatórios ou outros elementos sujeitos
a avaliação.
3. Em caso de fraude comprovada numa prova de avaliação, o docente deve anular a prova e comunicar
o facto ao diretor da Faculdade, que comunicará ao reitor da Universidade.
4. Caso haja apenas suspeita de fraude numa prova ou suspeita de plágio, o docente deve comunicar
todas as informações sobre a sua fundamentação ao diretor da Faculdade, o qual tomará posição
depois de ouvidas as partes envolvidas. Sempre que a existência de fraude seja comprovada, o diretor
da Faculdade anulará esse elemento de avaliação e comunicará o facto ao reitor da Universidade.
5. A aplicação de eventuais medidas disciplinares é da competência do reitor da Universidade, de acordo
com o regulamento disciplinar dos estudantes da Universidade do Porto.