Teoria de Singularidades

Código:

M4023

Sigla:

M4023

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2015/2016 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=1774
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:M	3	Plano de Estudos do M:Matemática	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Introduzir os conceitos e resultados de teoria de singularidades, e suas aplicações a outras ciências.

Uso de novas técnicas matemáticas e sua aplicação à análise de  modelos em outras ciências.

Resultados de aprendizagem e competências

Uso de novas técnicas matemáticas e sua aplicação à análise de  modelos em outras ciências.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Cálculo em várias variáveis; álgebra: noções básicas de estruturas algébricas, especialmente anéis e ideais; topologia em espaços vetoriais de dimensão finita; noções básicas de geometria diferencial de curvas e superfícies;  equações diferenciais ordinárias.

Programa

Apresentação do assunto:
A idéia é generalizar para funções de várias variáveis a seguinte informação:
Sabemos que para uma função f de uma variável real, se as 2n primeiras derivadas de f em um ponto p forem iguais a zero, e a derivada de ordem 2n+1 for diferente de zero, então o gráfico de f tem um ponto de inflexão em p. Se a derivada não nula de f de menor ordem tiver ordem par, então f tem um máximo ou mínimo local em p. Além disso, sabemos que para a função f(x)=x^3, que tem um ponto de inflexão em x=0, existem perturbações g(x)=x^3+ax^2+bx, de f, com a e b arbitrariamente pequenos, para as quais g(x) tem 2 pontos críticos. Para f(x)=x^n é possível obter perturbações g(x) com coeficientes arbitrariamente pequenos e com n-1 pontos críticos.
A generalização destes resultados para funções de 2 ou mais variáveis envolve o uso de estruturas algébricas como anéis e módulos.
Os resultados obtidos têm aplicação em Física, Biologia, Economia, etc.


Programa:
Revisões de variedades diferenciáveis, aplicações entre variedades.
Equivalências de aplicações: equivalência de germes, jatos, equivalências por mudanças de coordenadas.
As topologias forte e fraca C^k de Whitney no espaço das funções diferenciáveis e no epaço de jatos.
Transversalidade de subvariedades e de aplicações, teorema da transversalidade de Thom.
A álgebra dos germes de funções C^\infty; seu único ideal maximal; lema de Hadamard; o espaço de jatos como quociente desta álgebra por uma potência do ideal maximal.
A álgebra local do germe de uma aplicação, multiplicidade do germe de uma aplicação.
Teoria da determinação de germes de funções: o ideal jacobiano, critérios para determinação finita de um germe; lema de Morse; lema da separação; teorema de Tougeron para determinação.
Resultados sobre classificação: a classificação de Arnol'd de germes simples de aplicações, teorema de Thom da classificação por codimensão.
Teoria dos desdobramentos: desdobramentos versais, existência e construção de desdobramentos versais de uma singularidade de codimensão finita.
Aplicações.

Bibliografia Obrigatória

Poston Tim; Catastrophe theory and its applications. ISBN: 0-273-01029-8
Bruce J. W.; Curves and singularities. ISBN: 0-521-24945-7
Brocker Th.; Differentiable germs and catastrophes. ISBN: 0-521-20681-2
Alexei Davydov; Teoria das Singularidades, CMUP, 2000 (http://cmup.fc.up.pt/cmup/cmup_divulgacao.html)

Bibliografia Complementar

Poston Tim; Zeeman.s catastrophe machine

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria nas aulas.
Exercícios propostos na página da disciplina, discutidos nas aulas.

Se houver menos de 3 alunos inscritos: leitura orientada, discussão de exercícios.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Participação presencial	25,00
Teste	75,00
Total:	100,00

Fórmula de cálculo da classificação final

época normal: soma das classificações dos dois testes e da apresentação de uma aplicação: primeiro teste:0 a 5 valores; apresentação: 0 a 5 valores; segundo teste: 0 a 10 valores.

Época de recurso: classificação do exame: 0 a 20 valores.

Para aprovação o estudante deve obter uma classificação mínima de 9,5 valores.

A classificação final será a soma das classificações dos dois testes e da apresentação ou, alternativamente, a classificação do exame de recurso.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

exame