Análise Numérica II

Código:

M332

Sigla:

M332

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2014/2015 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	1	Plano de Estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-	202,5
L:F	0	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-	202,5
L:M	25	Plano de estudos a partir de 2009	3	-	7,5	-	202,5

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Nesta disciplina, apresentam-se métodos construtivos de resolução numérica de problemas fundamentais de Álgebra e de Análise Matemática, tais como: resolução de sistemas de equações lineares e não lineares, calculo de matrizes inversas e de determinantes, calculo de valores e vectores próprios de matrizes, calculo de integrais e resolução de equações diferenciais.

Em cada tema, consideram-se os seguintes aspectos relativos aos métodos de resolução numérica apresentados: convergência, estabilidade numérica, controlo de erros, construção de algoritmos, implementação e experimentação em computador, tratamento de casos de estudo e interpretação de resultados.

 

Resultados de aprendizagem e competências

Os estudantes deverão adquirir o conhecimento dos métodos fundamentais de resolução numérica dos problemas matemáticos tratados nas suas vertentes teórica, prática, computacional e experimental.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Conhecimentos básicos de Análise Numérica, Algebra Linear e Análise Matemáticas.

Domínio de uma linguagem de programação.

Programa

1. Normas e limites de vectores e de matrizes

1.1 Normas matriciais induzidas e subordinadas.

1.2 Critérios de convergência de sucessões e de séries de matrizes.

1.3 Inversão de matrizes perturbadas, condição de uma matriz.

1.4 Condicionamento de sistemas de equações lineares e de inversas de matrizes.

2. Resolução numérica de sistemas de equações lineares

2.1 Transformações e matrizes elementares.

2.2 Tipos de matrizes.

2.3 Sistemas triangulares.

2.4 Método de Gauss.

2.5 Métodos compactos de factorização.

3. Métodos Iterativos de Resolução de Sistemas de Equações Lineares

3.1 Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel.

4. Resolução Numérica de Sistemas de Equações Não Lineares

4.1 Método iterativo simples.

4.2 Método de Newton.

5. Integração Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

5.1 Existência e unicidade de soluções (aproximações sucessivas de Picard).

5.2 Métodos de Euler, métodos predictor-corrector, métodos de Taylor e de Runge-Kutta.

6. Calculo Numérico de Valores e Vectores Próprios de Matrizes

6.1 Localização de valores próprios: teoremas de Gerschgorin e coeficiente de Rayleigh.

6.2 Método das potências directas e inversas. Deflação.

6.3 Método de Jacobi.

6.4 Tridiagonalização de matrizes: rotações de Givens, reflexões de Householder.

6.4 Valores e vectores próprios de matrizes tridiagonais.

Bibliografia Obrigatória

Brezinski Claude; Méthodes numériques directes de l.algèbre matricielle. ISBN: 2-7298-2246-1
Brezinski Claude; Méthodes numériques itératives. ISBN: 978-2-7298-2887-5
Pina Heitor; Métodos numéricos. ISBN: 978-972-592-284-2
Golub Gene H.; Matrix computations. ISBN: 0-8018-5414-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuidas em aulas teóricas, aulas teórico-práticas e aulas de orientação tutorial.

Nas aulas teóricas são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados. Nas aulas teóricas efectua-se, ainda, a proposta dos projetos computacionais a desenvolver pelos alunos em grupo e as apresentações dos mesmos por parte dos alunos.

Nas aulas teórico-práticas efectua-se a resolução de exercícios teóricos e práticos e o desenvolvimento em computador dos projectos computacionais.

Os projectos computacionais contêm três vertentes: programas de computador, relatório escrito e apresentação oral com meios de projecção.

Nas aulas de orientação tutorial é efectuado o acompanhamento do desenvolvimento dos relatórios e das apresentações dos projectos.

São disponibilizados materiais de apoio na página da disciplina. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

A avaliação é distribuída com exame final incluindo a apresentação dos projectos computacionais.

Software

MatLab, SciLab, Máxima ou Phyton

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	62,50
Trabalho laboratorial	37,50
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Elaboração de projeto	60,00
Total:	60,00

Obtenção de frequência

Realização em grupo de três projectos computacionais constituidos por programas de computador, relatório escrito e apresentação oral com meios de projecção a realizar nas aulas teóricas.

Fórmula de cálculo da classificação final

- Três projetos computacionais em grupo (7,5 valores).

- Dois testes de avaliação escrita (12,5 valores) e/ou exame final (12,5 valores).

Melhoria de classificação

Só na parte escrita da avaliação.