Álgebra Linear e Geometria Analítica I

Código:

M143

Sigla:

M143

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2010/2011 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://www.fc.up.pt/cmup/alga/
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	33	Plano de Estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-	202,5
L:B	1	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-	202,5
L:F	43	Plano de estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-	202,5
L:M	92	Plano de estudos a partir de 2009	1	-	7,5	-	202,5
MI:EF	47	Plano de Estudos a partir de 2007	1	-	7,5	-	202,5

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Pretende-se que os alunos:
1.resolvam com facilidade problemas de Álgebra Linear e Geometria Analítica em R² e R³, e desenvolvam uma forte intuição geométrica que lhes permita compreender as partes mais abstractas da disciplina.
2.Manipulem com facilidade os aspectos mais práticos de cálculo – resolução de sistemas lineares pelo método de Gauss, cálculo matricial, determinantes, cálculo de valores e vectores próprios, cálculos com rectas e planos vectoriais e afins no plano e no espaço.
3.Percebam os métodos mais comuns à Álgebra Linear e suas aplicações.

Programa

I. Álgebra Linear e Geometria Analítica em R²

Vectores. R² como espaço vectorial real. Subespaços. Dependência e indepêndencia linear. Base canónica. Bases, coordenadas e dimensão. Aplicações Lineares. Matriz de uma aplicação linear. Determinantes. Valores e vectores próprios.
Geometria Euclideana em R². Produto interno (euclideano). Norma (euclideana). Ângulo. Ortogonalidade. Rectas vectoriais e afins. Projecção ortogonal. Interpretação geométrica de det e de det A. Simetrias relativamente a uma recta. Transformações ortogonais em R². Os grupos O(2) e SO(2).

II. Álgebra Linear e Geometria Analítica em R³

Vectores. R³ como espaço vectorial real. Subespaços. Dependência e indepêndencia linear. Base canónica. Bases, coordenadas e dimensão. Aplicações Lineares. Matriz de uma aplicação linear. Determinantes. Valores e vectores próprios.
Geometria Euclideana em R³. Produto interno (euclideano). Norma (euclideana). Ângulo. Ortogonalidade. Rectas vectoriais e afins. Projecção ortogonal. Interpretação geométrica de det e de det A. Simetrias relativamente a uma recta. Transformações ortogonais em R³. Os grupos O(3) e SO(3).

III. Espaços vectoriais

Espaços vectoriais. Exemplos. Subespaços vectoriais.

IV. Aplicações lineares. Núcleo e imagem. Isomorfismos lineares. Operadores e funcionais lineares. O espaço dual.

V. Bases, coordenadas e dimensão. Cálculos com coordenadas. Mudanças de base e de coordenadas.

VI. Representação matricial das aplicações lineares
Matriz de uma aplicação linear. Cálculo do núcleo e imagem. Matriz da composta.
Determinantes. Regra de Cramer.

VII. Espaços vectoriais com produto interno
Espaços Euclidianos reais. Espaços Hermitianos (ou Unitários) complexos
Norma. Ortogonalidade. Bases ortonormadas num espaço vectorial com produto interno. Método de ortogonalização de Gram-Schmidt. Decomposição ortogonal. Aplicações.

VIII. Vectores próprios e valores próprios.
Subespaços invariantes. Valores e vectores próprios de um operador linear. Subespaços próprios. Operadores diagonalizáveis. Cálculo de valores e vectores próprios. Aplicações

BIBLIOGRAFIA

Apontamentos disponíveis em http://cmup.fc.up.pt/cmup/alga

Anton and Rorres Elementary Linear Algebra with applications , Ninth Edition, John Wiley and Sons

T.M. Apostol: Calculus, vol.1 e vol.2". Xerox College Publishing Inter-
national Textbook series, 1969.

Banchoff T.,Wermer J.. Linear Algebra through Geometry". UTM,
Springer-Verlag, New York, 1983.

Blyth T.S. and Robertson E.F.: Basic Linear Algebra". SUMS,
Springer-Verlag, New York, 2002.

Bibliografia Obrigatória

000093487. ISBN: 0-471-66959-8
000041269. ISBN: 0-387-90787-4
000080051. ISBN: 1-85233-662-5

Bibliografia Complementar

000037773. ISBN: 0-536-00006-9 (vol. 1)

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas e aulas teórico-práticas.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	70,00
	Total:	-	0,00

Fórmula de cálculo da classificação final

Avaliação distribuída com exame final. Será, no entanto, dada aos alunos a oportunidade de realizarem uma parte do exame no decurso das aulas teórico-práticas nos termos descritos a seguir.

Durante uma parte do horário previsto para cinco das aulas teórico-práticas serão propostos cinco mini-testes, com a cotação de 2.5 (dois valores e meio) valores cada.
Dos 5 mini-testes referidos, os alunos podem seleccionar os quatro melhores podendo assim obter uma pontuação máxima de 10 (dez) valores.

Exame final (época normal)

Além das questões a que todos os alunos devem responder, o exame final terá um grupo de questões cotado para 10 (dez) valores ao qual os alunos podem não responder, declarando preferir que a classificação relativa ao grupo em causa seja a obtida nos quatro melhores mini-testes realizados ao longo do semestre, nos termos acima descritos.

Exame de recurso, melhorias e épocas especiais

Estes exames terão o mesmo formato do exame da época normal, mas não poderá ser usada a classificação obtida na avaliação distribuída (isto é, a que foi obtida nos quatro melhores mini-testes realizados ao longo do semestre).

Estrutura de cada mini-teste:

Cada mini-teste terá duas questões, com o formato adoptado no curso de ALGA I (ver o site desta disciplina):

uma pergunta de resposta múltipla de índole teórica e
outra de índole prática, envolvendo cálculos análogos aos exercícios propostos.

Têm a duração de 20 minutos + 10 minutos de tolerância, e realizam-se no decurso das aulas teórico-práticas nas datas a seguir indicadas:

Semana de 11 a 15 de Outubro
Semana de 25 a 29 de Outubro
Semana de 8 a 12 de Novembro
Semana de 22 a 26 de Novembro
Semana de 13 a 17 de Dezembro

Para classificações superiores ou iguais a 18 (dezoito) valores os alunos devem participar no seminário referido nas Provas e Trabalhos Especiais, através de pelo menos uma exposição oral de uma das aplicações aí propostas, além de terem uma classificação superior ou igual a 17 (dezassete) valores no exame final.

Provas e trabalhos especiais

Sugerem-se alguns temas de estudo extra programa, sobre aplicações "reais" da álgebra linear, com o objectivo de proporcionar ao aluno mais interessado uma oportunidade de progredir e perspectivar algumas das múltiplas aplicações teóricas e práticas da álgebra linear. Procurar-se-á ainda, nas aplicações "reais" fazer os cálculos com recurso ao software MAXIMA .

Temas de estudo propostos em 2010/2011

Aplicações "reais" da álgebra linear


A lista seguinte de aplicações está incluída no livro Elementary Linear Algebra with applications , Ninth Edition, by Howard Anton and Chris Rorres. Consiste de aplicações a várias áreas – Economia, Engenharia, Física, Ciência de Computadores, Ecologia, Sociologia, Demografia e Genética. As aplicações estão desenvolvidas de forma independente umas das outras pelo que o aluno pode seleccionar as que mais o motivar e fazer um estudo independente.

Para obter uma cópia de cada uma das aplicações, o aluno deve contactar por mail
João Nuno Tavares .

Está prevista a realização de um seminário extra-curricular (extra-aulas), de periodicidade quinzenal, às quartas-feiras das 16h30 às 17h30, para discussão destas aplicações. Em cada um destes seminários haverá duas exposições de dois temas feitas por alunos que se voluntarizem para tal. Contará como factor de valorização para a avaliação final da disciplina.

Lista de temas:

1. CONSTRUCTING CURVES AND SURFACES THROUGH SPECIFIED POINTS

2. ELECTRICAL NETWORKS

3. GEOMETRIC LINEAR PROGRAMMING

4. THE EARLIEST APPLICATIONS OF LINEAR ALGEBRA

5. CUBIC SPLINE INTERPOLATION

6. MARKOV CHAINS

7. GRAPH THEORY

8. GAMES OF STRATEGY

9. LEONTIEF ECONOMIC MODELS

10. FOREST MANAGEMENT

11. COMPUTER GRAPHICS

12. EQUILIBRIUM TEMPERATURE DISTRIBUTIONS

13. COMPUTED TOMOGRAPHY

14. FRACTALS

15. CHAOS

16. CRYPTOGRAPHY

17. GENETICS

18. AGE-SPECIFIC POPULATION GROWTH

19. HARVESTING OF ANIMAL POPULATIONS

20. A LEAST SQUARES MODEL FOR HUMAN HEARING

21. WARPS AND MORPHS

Melhoria de classificação

Para classificações superiores ou iguais a 18 (dezoito) valores os alunos devem participar no seminário acima referido nas Provas e Trabalhos Especiais, através de pelo menos uma exposição oral de uma das aplicações aí propostas, além de terem uma classificação superior ou igual a 17 (dezassete) valores no exame final.