Topologia

Código:

M453

Sigla:

M453

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2009/2010 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática Pura
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:F	2	Plano de Estudos do Mestrado em Física	1	-	7,5	-
			2
M:M	3	PE do Mestrado em Matemática	1	-	7,5	-
			2

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Pretende-se que os alunos adquiram conhecimento básicos sobre espaços topológicos assim como conceitos e técnicas de Topologia Algébrica que os permitam distinguir ou classificar espaços topológicos.

Programa

ver infociências/documentos
Programa resumido:
Espaços Topológicos: Topologia sobre um espaço.
Comparação de topologias.. Funções contínuas. Homeomorfismos. Supremo e ínfimo de uma família de topologias. Topologia gerada por um conjunto de partes de X. Axiomas de numerabilidade.

Construção de Espaços Topológicos:Topologia inicial. Mergulhos. Topologia inicial para uma família de aplicações. Topologia produto (Tychonoff) e topologia das caixas. Caracterização da topologia produto.
Topologia final. Espaços quociente/ Topologia de identificação. Exemplos de espaços quociente. Topologia final para um conjunto de aplicações. Topologia soma. Soma topológica de espaços não disjuntos. Topologia fraca.
Aplicações definidas aos bocados. Coberturas e famílias local e pontualmente finitas. Uniões de famílias localmente finitas de fechados.

Propriedades Topológicas: Conexão.Separações. Componentes conexas. Conexão por arcos. Espaços localmente conexos e localmente conexos por arcos. Axiomas de separação. Espaços T0, T1, T2, regulares, completamente regulares e normais. Espaços compactos. Propriedade de Heine-Borel e propriedade das intersecções finitas.Compactos e normalidade. Teorema de Tychonoff (demonstração no caso finito). Aplicações próprias. Número de Lebesgue de uma cobertura. Lema de Lebesgue. Espaços localmente compactos e regularidade.Produto de espaços métricos e de espaços completamente regulares. Compactificações. Compactificação com um ponto ( compactificação de Alexandroff). Compactificação de Stone-Cech. Relação . Espaços normais. Outra caracterização dos espaços normais. Teorema de Uryshon e Teorema de Tietze. Generalizações do Teorema de Tietze. Espaços paracompactos. Partições da unidade. Partições da unidade subordinadas a uma cobertura. Mergulho de variedades compactas em espaços euclidianos.
Topologia Algébrica: Classificação de espaços e invariantes topológicos. Categorias e functores. Homotopia e homotopia relativa.Espaços contrácteis. Isotopias. A categoria H e a factorização de alguns invariantes topológicos.
Grupo fundamental: Homotopia de caminhos.. Grupo fundamental de um espaço conexo por arcos. Functorialidade e invariância do ponto base. O functor π:.
Revestimentos:Propriedades do levantamento canónico de caminhos e do levantamento de homotopias. Grupo associado a um revestimento. Invariância do número de elementos de fibra. Morfismos de revestimentos. Revestimentos isomorfos. O grupo dos automorfismos de revestimento. Isomorfismo Aut(Y,p) N(G)/G onde G = π1 (Y) e N(G) normalizador de G em π1 (X) . Revestimentos regulares. Cálculo de π1(S1) e π1 ( IRPn ). Cálculo de alguns grupos fundamentais usando revestimentos. Teorema fundamental da Álgebra. Revestimentos associados a subgrupos do grupo fundamental de base. Teorema de classificação dos revestimentos. Revestimento universal. Exemplos de aplicação. Revestimento duplo orientável de uma variedade. Exemplos. Revestimentos regulares.

Simplexos e complexos simpliciais: Complexos simpliciais finitos. Triangulações. Subcomplexos. Aplicações simpliciais. Subdivisões. Subdivisões baricêntricas e suas propriedades. Malha de complexos. Teorema da aproximação simplicial. Cálculo de πk ( Sn ) com k
Grupo combinatório de um complexo finito e Teorema de Seifert - Van-KampenGrafos. Cálculo do grupo fundamental de um grafo. Grupo fundamental da soma conexa de variedades de dimensões superiores a três.

Complexos celulares. Cálculo do grupo fundamental de um complexo celular finito K Grupo fundamental das superfícies. Grupo fundamental dos Espaços Projectivos IRPn e das Esferas Sn.

Observações Bibliográficas

Homotopia e Homologia – M. Eugénia César de Sá (FCUP)
Superfícies - M. Eugénia César de Sá (FCUP)
Topology – Schubert
Topology – Dugundji
Topology – Hocking – Young
Topology – J.R.Munkrees
Basic Topology – M.A. Armstrong
Topology – Klaus Jänich
Algebraic Topology – Massey
Algebraic Topology – A. Hatcher
Algebraic Topology – Spanier
Algebraic Topology – Maunder

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Fórmula de cálculo da classificação final

Consideram-se duas componentes da avaliação:
• Avaliação distribuída: efectuada com base nos resultados de testes
• Exame escrito final
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
A avaliação será feita através de dois testes( não obrigatórios), que poderão conduzir a dispensa e exame final..O primeiro teste incidirá sobre Topologia Geral, o segundo sobre Topologia Algébrica.

O exame estará dividido em duas partes (eventualmente feitas em dias diferentes).Uma sobre Topologia Geral , outra sobre Topologia Algébrica

O aluno com nota superior a dezoito valores poderá eventualmente ser submetido a uma prova extra.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Segundo as Normas Gerais de Avaliação.

Melhoria de classificação

A classificação pode ser melhorada por meio de melhoria do resultado do exame final, de acordo com as regras em vigor.