Teoria dos Números e Criptografia

Código:

M242

Sigla:

M242

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2011/2012 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	0	Plano de Estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:B	2	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:CC	0	Plano de estudos de 2008 até 2013/14	3	-	7,5	-
L:F	2	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:G	0	P.E - estudantes com 1ª matricula anterior a 09/10	3	-	7,5	-
		P.E - estudantes com 1ª matricula em 09/10	3	-	7,5	-
L:M	49	Plano de estudos a partir de 2009	1	-	7,5	-
			2
			3
L:Q	0	Plano de estudos Oficial	3	-	7,5	-
PGMP	0	PE da PG em Matemática para Professores	1	-	7,5	-

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introduzir os conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números, com ênfase nos aspectos computacionais. Dar algumas das suas aplicações criptográficas.

Programa

1) Divisibilidade em anéis comutativos, com especial ênfase no anel dos inteiros e em anéis de polinómios; números primos e números compostos; o máximo divisor comum e o algoritmo de Euclides em alguns anéis (ditos) Euclidianos mais comuns. O teorema fundamental da Aritmética e a sua extensão a alguns anéis aritmeticamente importantes.

2) Congruências. Os teoremas de Fermat e Euler. Inversos modulares. Teorema chinês dos restos.

3) A cifra RSA e algumas das suas aplicações. Exponenciação modular.

4) Rudimentos sobre testes de primalidade e algoritmos de factorização.

5) Raízes primitivas e o protocolo de troca de chaves de Diffie-Hellman.

6) Resíduos quadráticos. Lei de reciprocidade quadrática. Protocolo para "atirar uma moeda ao ar à distância" (remote coin flip protocol). Teste de Pépin para números de Fermat.

Bibliografia Obrigatória

Victor Shoup; A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Cambridge University Press, 2008 ((disponível gratuitamente em http://www.shoup.net/ntb/ (15/2/2011)))

Bibliografia Complementar

Oystein Ore; Number Theory and Its History, Dover, 1996 (original: Addison-Wesley, 1977)
I. Vinogradov; Elements of Number Theory, Dover, 1954
A. J. Menezes, P. C. van Oorschot, S. A. Vanstone; Handbook of Applied Cryptography, CRC Press, 1997 ((disponível gratuitamente em http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac/ (15/2/2011)))
Richard A. Mollin; An Introduction to Cryptography, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001 (segunda edição, 2007)

Software

PARI: http://pari.math.u-bordeaux.fr

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Teoria dos números
Ciências Físicas > Matemática > Matemática computacional

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	70,00
	Total:	-	0,00

Fórmula de cálculo da classificação final

Haverão dois testes, que decorrerão nas aulas práticas, nos dias 30 de Abril e 28 de Maio, tendo a duração de uma hora cada (serão efectuados das 12h00 às 13h00).

Cada teste terá um peso de 6 valores na nota final, podendo as respectivas classificações ser usadas, independentemente, como créditos no exame final, que terá 3 partes, duas das quais correspondendo aos testes.

A classificação final será a obtida no exame final.