Métodos Matemáticos em Biologia e Medicina

Código:

M386

Sigla:

M386

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2009/2010 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática Pura
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	63	202,5
L:CC	0	Plano de estudos de 2008 até 2013/14	3	-	7,5	63	202,5
L:G	0	P.E - estudantes com 1ª matricula anterior a 09/10	3	-	7,5	63	202,5
		P.E - estudantes com 1ª matricula em 09/10	3	-	7,5	63	202,5
L:M	38	Plano de estudos a partir de 2009	1	-	7,5	63	202,5
			2
			3
L:Q	2	Plano de estudos Oficial	3	-	7,5	63	202,5
M:ENM	3	PE do Mestrado em Engenharia Matemática	1	-	7,5	63	202,5
			2
M:MPRO	0	PEOficial Mestrado Matemática Professores	1	-	7,5	63	202,5

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Aprender a modelar diferentes fenómenos, essencialmente da área da Biologia, e adquirir conhecimentos
e ferramentas que permitam efectuar a análise dos modelos obtidos.

Programa

- Um modelo para administração de florestas. Corte sustentável; rendimento sustentável e rendimento sustentável óptimo.
- Genética: características hereditárias, hereditariedade autossómica, doenças recessivas autossómicas, hereditariedade ligada ao sexo.
- Procriação consanguínea. Crescimento populacional por faixa etária. Matrizes de Leslie. Valor próprio dominante.
- Modelos populacionais: modelo de Malthus e modelo de Verhulst. Estudo qualitativo da equação logística.
- Farmacocinética: administração por bólus endovenoso (injecção endovenosa rápida)
- A equação logística em epidemiologia: um modelo para a dinâmica da transmissão da gonorreia numa população homossexualemente activa.
- Colheita constante e colheita com esforço constante em modelos populacionais governados pela equação logística.
- Modelos populacionais discretos. Limite de uma sucessão de iterados. Dinâmica (unidimensional) na vizinhança de um ponto fixo atractor. Dinâmica (unidimensional) na vizinhança de um ponto fixo repulsor. Estudo da dinâmica de dois modelos populacionais discretos (Verhulst e logístico). Breve referência à dinâmica caótica da aplicação 5x(1-x).
- Equações diferenciais lineares e homogéneas em R^2. Diagramas de fase. Mudanças de coordenadas. Classificação da singularidade de uma aplicação linear de R^2 através do determinante e do traço. Fluxo associado a uma equação diferencial gerada por uma aplicação linear. Definição de fluxos topologicamente conjugados e de conjugação topológica. Aplicações lineares hiperbólicas. Classificação topológica dos fluxos associados a uma aplicação linear hiperbólica (de R^2).
- Teorema de existência e unicidade locais das soluções de uma equação diferencial autónoma. Singularidades, soluções periódicas e soluções regulares (imersões de R). Singularidades hiperbólicas. Teorema de Hartman-Grobman.
- Singularidades estáveis, assimptoticamente estáveis e singularidades instáveis. Omega e alfa limites de um ponto. Propriedades destes conjuntos. Teorema de Poincaré-Bendixon. Algumas consequências deste teorema. Teorema de Dulac. Critério de Dulac. Estudo qualitativo do comportamento (assimptótico) das soluções de uma dada equação diferencial em R^2.
- Estudo do modelo de Lotka-Volterra para o sistema presa-predador. Estudo de um modelo mais geral para o sistema Presa-Predador.
- Variedade estável e variedade instável de uma singularidade. Variedade estável/instável da origem para o fluxo associado a um sistema linear e hiperbólico. Obtenção da variedade estável de um atractor hiperbólico via variedade estável local (obtida pelo Teorema de Hartman-Grobman); abertura e conexão destas variedades. Variedades estável e instável de uma sela hiperbólica. Teorema da variedade estável. Referência ao lambda-lema (lema da inclinação). Um exemplo.
- Estudo de um modelo para a competição entre espécies. Estudo da competição entre espécies sujeita a colheita de esforço constante numa das espécies.
- Mutualismo facultativo. Estudo de um modelo para o mutualismo entre espécies.

Bibliografia:

- Anton e Rorres, "Elementary Linear Algebra",
- Brauer e Castillo-Chávez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology"
- Braun, "Differential Equations and their applications",
- Hirsch, Smale e Devaney, "Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos"
- Murray, "Mathematical Biology"

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria nas aulas teóricas. Resolução de exercícios, previamente propostos, nas aulas teórico-práticas.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	77,00
	Total:	-	0,00

Obtenção de frequência

O aluno pode dispensar do exame final se obtiver soma maior ou igual a dezanove nos dois testes e uma classificação não inferior a seis valores em cada uma destas provas.

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final é a média das classificações obtidas nos testes, caso o aluno preencha as condições para dispensar do exame final, ou a classificação obtida no exame final.
A obtenção de uma classificação superior a 17 valores pressupõe a realização de uma prova oral complementar.

Melhoria de classificação

Um aluno que obtenha dispensa de exame final pode melhorar a classificação no exame final.

Observações

Qualquer situação de avaliação que não esteja especificamente prevista é realizada através de uma prova oral.