Geometria Simpléctica

Código:

M425

Sigla:

M425

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2011/2012 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:M	3	PE do Mestrado em Matemática	1	-	7,5	-
			2

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Os objetivos da disciplina são o estudo da geometria em espaços vetoriais simpléticos e em variedades simpléticas.
Pretende-se que os alunos reconheçam as principais semelhanças (e diferenças) entre a geometria simplética e a geometria Riemanniana, bem como a importância da geometria simplética no estudo de sistemas mecânicos conservativos.

Programa

1. Geometria simpléctica em espaços vectoriais:
(a) Espaços vectoriais simplécticos, subespaços isotrópicos, coisotrópicos, 
simplécticos e Lagrangianos.
(b) Grupo dos simplectomorfismos lineares.
(c) Existência de uma base simpléctica. 
(d) Teorema da não contracção de Gromov (caso afim). Largura simpléctica linear.

2. Cálculo diferencial em variedades diferenciáveis: (a) Formas diferenciais, produto exterior, "pullback", diferencial exterior. (b) Campos de vectores, derivações, parêntesis de Lie, fluxo.
(c) Cadeias em variedades e seu bordo, integração de formas diferenciais, teorema de Stokes. 
(d) Cálculo diferencial de Cartan. (e) Cohomologia de De Rham, operador de homotopia e lema de Poincaré. Variedades orientáveis.

3. Geometria simpléctica em variedades diferenciáveis:
(a) Variedades simplécticas, aplicações simplécticas e simplectomorfismos, campos simplécticos e campos Hamiltonianos, equações de Hamilton.
(b) Parêntesis de Poisson, versão Hamiltoniana do teorema de Noether da Mecânica. 
(c) Método de Moser e teorema de Darboux-Weinstein. 
(d) Subvariedades (mergulhadas) isotrópicas, coisotrópicas, simplécticas e Lagrangianas. Estrutura simpléctica produto. Gráfico de um simplectomorfismo.

4. Invariantes simpléticos
ou, alternativamente
4. Ações hamiltonianas e aplicação momento.

Bibliografia Obrigatória

000071863. ISBN: 0-387-96890-3
000052721. ISBN: 0-19-851177-9
000056783

Bibliografia Complementar

000045791. ISBN: 3-7643-5066-0
000047233

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas de exposição teóricas, complementadas com exemplos de aplicação e com propostas de exercícios a serem resolvidos pelos alunos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	64,00
	Total:	-	0,00

Obtenção de frequência

Para obter frequência os alunos deverão assistir a (pelo menos) dois terços das aulas previstas;

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final será obtida somando:
1. os valores obtidos nos exercícios propostos durante o semestre (que valem 6 valores)
2. a classificação obtida no 1º teste (valendo 7 valores)
3. a classificação obtida no 2º teste (valendo 7 valores)

Provas e trabalhos especiais

Não aplicável.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Alunos em regime especial poderão estar dispensados das regras para obtenção de frequência.
O cálculo da classificação final seguirá as regras descritas acima.

Melhoria de classificação

A melhoria de classificação constará de um exame valendo 20 valores.