Cálculo Infinitesimal II

Código:

M112

Sigla:

M112

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2011/2012 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://elearning2.fc.up.pt/aulasweb0910/course/view.php?id=1300
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	31	Plano de Estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-
L:B	0	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:CC	1	Plano de estudos de 2008 até 2013/14	2	-	7,5	-
			3
L:F	45	Plano de estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-
L:G	0	P.E - estudantes com 1ª matricula anterior a 09/10	3	-	7,5	-
		P.E - estudantes com 1ª matricula em 09/10	3	-	7,5	-
L:M	102	Plano de estudos a partir de 2009	1	-	7,5	-
L:Q	0	Plano de estudos Oficial	3	-	7,5	-
MI:EF	54	Plano de Estudos a partir de 2007	1	-	7,5	-

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Objectivos:

Saber identificar os gráficos de equações quadráticas no plano e no espaço.

Conhecer os resultados básicos do cálculo de curvas parametrizadas no plano e no espaço.

Conhecer os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis com o fim de compreender as noções de derivada parcial, gradiente, pontos de máximo e mínimo local, plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis, e a determinação de valores extremos de funções reais de várias variáveis com restrições.

Conhecer os métodos de integração múltipla e ser capaz de os usar na determinação de áreas, volumes, etc, de regiões do plano ou do espaço recorrendo, se necessário, a mudança de variáveis.

Programa

1. Cónicas e quádricas.
R^n com a estrutura usual de espaço vectorial euclidiano. Diagonalização de formas quadráticas. Superfícies de segundo grau.

2. Curvas parametrizadas.
Velocidade, aceleração, curvatura, o triedro de Frenet.

3. Cálculo diferencial de funções vectoriais de várias variáveis.
Gráficos de funções (escalares) de várias variáveis, curvas de nível e superfícies de nível. Abertos e fechados em R^n. Ponto de acumulação e ponto isolado. Limites e continuidade de funções. Derivadas direccionais e derivadas parciais. Derivada de uma função escalar num ponto. Gradiente. Derivabilidade e gradiente. Plano tangente ao gráfico de uma função. Interpretação do vector gradiente. Recta normal e hiperplano tangente a uma superfície de nível num ponto. Derivadas de ordem superior. Igualdade das derivadas parciais mistas. Derivada de uma função vectorial num ponto. Matriz jacobiana. Derivada da função composta. Exemplos. Teorema da função inversa. Máximos e mínimos de funções escalares de várias variáveis. Classificação dos extremos usando derivadas parciais de segunda ordem. Extremos condicionados: o método dos multiplicadores de Lagrange.

4. Integrais múltiplos.
Definição de integral de uma função (de várias variáveis) sobre um rectângulo e sobre uma região limitada. Teorema de Fubini. Cálculo de integrais duplos e triplos via integrais iterados. Teorema da mudança de coordenadas para integrais múltiplos. Aplicações: integrais duplos em coordenadas polares, e integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Bibliografia Obrigatória

000046967. ISBN: 0-387-96405-3
000097905. ISBN: 978-0-495-38273-7

Bibliografia Complementar

J.Marsden and A.Weinstein; Calculus. Vol. III. , New York: Springer-Verlag, 1985
000043894. ISBN: 0-12-232550-8
R.Larson, R.P.Hostetler and B.H.Edwards; Calculus (8th Edition), Houghton Mifflin Company , 2006 (Tradução em Português: Cálculo (Vol. II), Mc Graw-Hill (2006))

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas: exposição das matérias com recurso ao computador completada com exposição escrita no quadro de provas de resultados e exemplos. O material exposto com recurso ao computador é disponibilizado no início do semestre.

Aulas teórico-práticas: é disponibilizada no início do semestre uma lista de exercícios abrangendo todo o programa da disciplina, bem como resoluções de muitos deles. Os exercícios propostos para cada aula são divulgados na semana anterior.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	70,00
	Total:	-	0,00

Obtenção de frequência

Os alunos com mais do que 4 faltas serão excluidos.

Fórmula de cálculo da classificação final

Os estudantes podem optar pelo sistema de avaliação contínua, ou fazer o exame final.

Caso o aluno opte por avaliação continua, o aluno terá 2 (dois) testes que poderão, caso o aluno o deseje, substituir os grupos correspondentes do exame final da época normal. O exame final da época normal será constituído por 3 (três) grupos valendo dois deles 8 valores (em 20) e o restante 4 valores (em 20). Os dois primeiros blocos podem ser substituídos por testes de acordo com a seguinte tabela

Bloco I – primeiro teste a realizar dia ?? com a duração de 90 minutos (data a combinar na primeira aula). Vale 8 valores em 20 (isto é 2/5 da nota final)

Bloco II – segundo teste a realizar dia ?? com duração de 90 minutos (data a combinar na primeira aula). Vale 8 valores em 20 (isto é 2/5 da nota final)

Note-se que um aluno que resolva um determinado bloco no exame, prescinde da classificação correspondente obtida por teste (mesmo quando esta é superior).

A nota final da primeira época é a nota do exame. Um aluno que obtenha classificação nos testes e falte ao exame da época normal ser-lhe-á atribuida a soma da classificação dos testes, necessariamente inferior ou igual a 16 valores. Caso esta classificação seja estritamente inferior a 9.5 valores o aluno será reprovado.

Os resultados obtidos em teste podem apenas ser usados para o exame da época normal.

Todo o aluno com nota superior ou igual a 9.5 valores poderá ser chamado a oral. Neste caso, a nota final é a média aritmética entre a nota obtida na parte escrita e a obtida na parte oral.

Os alunos cuja classificação final (em cada uma das épocas) seja estritamente superior a 8.0 e inferior a 9.5 e sem erros considerados graves nos testes e/ou exames, poderão ser sujeitos a uma prova complementar oral ou escrita.

Todos os exames terão a duração máxima de 3 (três) horas.

As melhorias de notas só poderão ser feitas por exame.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Melhoria de classificação

A melhoria de nota é feita por exame.

Observações

Artigo 13.◦ do Regulamento Geral para Avaliação dos Discentes de Primeiros Ciclos, de Ciclos de Estudos Integrados de Mestrado e de Segundos Ciclos da U.Porto, aprovado em 19 de Maio de 2010: “A fraude cometida na realização de uma prova — em qualquer das suas modalidades — implica a anulação da mesma e a comunicação ao órgão estatutariamente competente para eventual processo disciplinar. ”