Cálculo Infinitesimal II

Código:

M112

Sigla:

M112

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2009/2010 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática Pura
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	39	Plano de Estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-
L:B	0	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:CC	1	Plano de estudos de 2008 até 2013/14	2	-	7,5	-
			3
L:F	51	Plano de estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-
L:G	0	P.E - estudantes com 1ª matricula anterior a 09/10	3	-	7,5	-
		P.E - estudantes com 1ª matricula em 09/10	3	-	7,5	-
L:M	80	Plano de estudos a partir de 2009	1	-	7,5	-
L:Q	0	Plano de estudos Oficial	3	-	7,5	-
MI:EF	40	Plano de Estudos a partir de 2007	1	-	7,5	-

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Objectivos:

Saber identificar os gráficos de equações quadráticas no plano e no espaço.

Conhecer os resultados básicos do cálculo de curvas parametrizadas no plano e no espaço.

Conhecer os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis com o fim de compreender as noções de derivada parcial, gradiente, pontos de máximo e mínimo local, plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis, e a determinação de valores extremos de funções reais de várias variáveis com restrições.

Conhecer os métodos de integração múltipla e ser capaz de os usar na determinação de áreas, volumes, etc, de regiões do plano ou do espaço recorrendo, se necessário, a mudança de variáveis.

Programa

1. Cónicas e quádricas.
R^n com a estrutura usual de espaço vectorial euclidiano. Diagonalização de formas quadráticas. Superfícies de segundo grau.

2. Curvas parametrizadas.
Velocidade, aceleração, curvatura, o triedro de Frenet.

3. Cálculo diferencial de funções vectoriais de várias variáveis.
Gráficos de funções (escalares) de várias variáveis, curvas de nível e superfícies de nível. Abertos e fechados em R^n. Ponto de acumulação e ponto isolado. Limites e continuidade de funções. Derivadas direccionais e derivadas parciais. Derivada de uma função escalar num ponto. Gradiente. Derivabilidade e gradiente. Plano tangente ao gráfico de uma função. Interpretação do vector gradiente. Recta normal e hiperplano tangente a uma superfície de nível num ponto. Derivadas de ordem superior. Igualdade das derivadas parciais mistas. Derivada de uma função vectorial num ponto. Matriz jacobiana. Derivada da função composta. Exemplos. Teorema da função inversa. Máximos e mínimos de funções escalares de várias variáveis. Classificação dos extremos usando derivadas parciais de segunda ordem. Extremos condicionados: o método dos multiplicadores de Lagrange.

4. Integrais múltiplos.
Definição de integral de uma função (de várias variáveis) sobre um rectângulo e sobre uma região limitada. Teorema de Fubini. Cálculo de integrais duplos e triplos via integrais iterados. Teorema da mudança de coordenadas para integrais múltiplos. Aplicações: integrais duplos em coordenadas polares, e integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Bibliografia Obrigatória

000046967. ISBN: 0-387-96405-3
000097905. ISBN: 978-0-495-38273-7

Bibliografia Complementar

J.Marsden and A.Weinstein; Calculus. Vol. III. , New York: Springer-Verlag, 1985
000043894. ISBN: 0-12-232550-8
R.Larson, R.P.Hostetler and B.H.Edwards; Calculus (8th Edition), Houghton Mifflin Company , 2006 (Tradução em Português: Cálculo (Vol. II), Mc Graw-Hill (2006))

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas: exposição das matérias com recurso ao computador completada com exposição escrita no quadro de provas de resultados e exemplos. O material exposto com recurso ao computador foi disponibilizado no início do semestre.

Aulas teórico-práticas: foi disponibilizado no início do semestre uma lista de exercícios abrangendo todo o programa da disciplina; para cada aula teórico-prática foi seleccionado um conjunto de exercícios que permitissem desenvolver os conceitos e resultados apresentados nas aulas teóricas da semana anterior e apresentado uma possível resolução dos mesmos. As aulas teórico-práticas envolviam geralmente uma revisão dos conceitos e resultados potenciando observações e conclusões em situações concretas de aplicação dos mesmos.

Tipo de avaliação

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	70,00
Teste 1	Exame	1,00		2010-03-23
Teste 2	Exame			2010-04-20
Teste 3	Exame	1,00		2010-05-20
Teste 4	Exame	1,00		2010-06-01
Exame da época normal	Exame	3,00		2010-06-14
Exame da época de recurso	Exame	3,00		2010-07-05
	Total:	-	0,00

Obtenção de frequência

Os estudantes podem optar por avaliação contínua ou exame final.

A avaliação contínua consiste em quatro mini-testes, cada um totalizando 5 valores, a realizar ao longo do semestre.

1) Os alunos que obtiverem nota igual ou superior a 10 valores no total dos quatro mini-testes a realizar ao longo do semestre:
- serão aprovados com essa nota se faltarem ao exame de 1ª época;
- serão aprovados com essa nota se não entregarem o exame de 1ª época;
- serão aprovados com 10 valores se tiverem nota inferior a 10 no exame
de 1ª época;
- serão aprovados com a nota do exame se tiverem nota positiva no exame
de 1ª época.
2) Classificações superiores a 17 valores (quer no total dos quatro mini-testes, quer no exame) só serão atribuídas após realização de uma prova escrita complementar (a ser realizada em data posterior ao exame da época normal).

Fórmula de cálculo da classificação final

Os estudantes podem optar por avaliação contínua ou exame final.

A avaliação contínua consiste em quatro mini-testes, cada um totalizando 5 valores, a realizar ao longo do semestre.

1) Os alunos que obtiverem nota igual ou superior a 10 valores no total dos quatro mini-testes a realizar ao longo do semestre:
- serão aprovados com essa nota se faltarem ao exame de 1ª época;
- serão aprovados com essa nota se não entregarem o exame de 1ª época;
- serão aprovados com 10 valores se tiverem nota inferior a 10 no exame
de 1ª época;
- serão aprovados com a nota do exame se tiverem nota positiva no exame
de 1ª época.
2) Classificações superiores a 17 valores (quer no total dos quatro mini-testes, quer no exame) só serão atribuídas após realização de uma prova escrita complementar (a ser realizada em data posterior ao exame da época normal).