Equações Diferenciais

Código:

M222

Sigla:

M222

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2010/2011 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.up.pt/course/view.php?id=1991
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	2	Plano de Estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:B	6	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:CC	1	Plano de estudos de 2008 até 2013/14	3	-	7,5	-
L:F	1	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:G	0	P.E - estudantes com 1ª matricula anterior a 09/10	3	-	7,5	-
		P.E - estudantes com 1ª matricula em 09/10	3	-	7,5	-
L:M	71	Plano de estudos a partir de 2009	2	-	7,5	-
L:Q	0	Plano de estudos Oficial	3	-	7,5	-
M:MPRO	0	PEOficial Mestrado Matemática Professores	1	-	7,5	-
PGMP	0	PE da PG em Matemática para Professores	1	-	7,5	-

Língua de trabalho

Português

Objetivos

1. Resolver equações diferenciais ordinárias de tipo clássico (equações diferenciais lineares de 1ª e 2ª ordem, equações separáveis e exactas e sistemas de equações diferenciais de 1ª ordem lineares), e aplicar a teoria a vários problemas reais (crescimento de populações, datação por isótopos radioactivos, trajectórias ortogonais, misturas, vibrações mecânicas).
2. Resolver sistemas lineares (coeficientes constantes) de equações diferenciais ordinárias.
3. Estudar qualitativamente algumas equações diferenciais e alguns sistemas de equações diferenciais ordinárias não resolúveis analiticamente (pontos de equilíbrio, estabilidade e diagramas de fase).
3. Usar o método das transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais lineares de 2ª ordem.

Programa

1. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem:
1.1 equações lineares;
1.2 equações separáveis;
1.3 equações exactas;
1.4 aplicação à datação por isótopos radioactivos, ao crescimento de populações, misturas e trajectórias ortogonais;
1.5 teorema da existência e unicidade de solução;
1.6 método de Euler para a integração numérica de equações diferenciais.

2. Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem:
2.1 sistemas lineares homogéneos com coeficientes constantes: solução geral, matriz fundamental de soluçõoes;
2.2 sistemas lineares 2 x 2: diagramas de fase;
2.3 pontos de equilíbrio e critérios de estabilidade para pontos de equilíbrio de sistemas lineares e não lineares;
2.4 estudo qualitativo do modelo predador-presa de Volterra-Lotka.

3. Equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem:
3.1 equações homogéneas;
3.2 cálculo de uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogénea de 2ª ordem: (a) através do método da variação das constantes e (b) 'adivinhando' soluções em casos especiais;
3.3 método das transformadas de Laplace;
3.4 exemplos de aplicações: vibrações mecânicas;
3.5 resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem por expansão em série de potências.

Bibliografia Obrigatória

M. Braun; Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag (Existem várias edições deste livro na biblioteca do departamento de Matemática)

Tipo de avaliação

Obtenção de frequência

Avaliação contínua:
A aprovação à disciplina pode ser obtida por realização de três frequências, valendo respectivamente 7, 6 e 7 valores Neste caso, é obrigatória a obtenção de uma nota mínima de 3 valores nas primeira e última avaliações e uma nota mínima de 2 valores na segunda avaliação.

Avaliação por exame final:
Serão admitidos a exame final
a) os alunos que não tenham obtido aprovação por avaliação contínua,
b) os alunos que tendo obtido aprovação à disciplina por avaliação contínua não tenham obtido o resultado pretendido. Neste caso, os alunos terão que optar, no acto da entrega do exame, por prescindir ou não da classificação já obtida na avaliação contínua.

Fórmula de cálculo da classificação final

Avaliação contínua: Soma das classificações nas três frequências *;

Avaliação por exame final: Nota do exame final*.



* (ver Provas e Trabalhos Especiais)

Provas e trabalhos especiais

Os alunos com nota superior ou igual a 17.5 valores poderão ter que realizar uma prova escrita ou oral para obterem uma nota superior ou igual a 18 valores (tanto na avaliação contínua como no exame final da época normal ouda época especial).

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Melhoria de classificação

Exame escrito na época especial de recurso.