Análise Real I

Código:

M1011

Sigla:

M1011

Nível:

100

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2024/2025 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle2425.up.pt/course/view.php?id=5489
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:M	120	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	72	243
L:MA	107	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	72	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Compreensão e capacidade de utilização dos conceitos e resultados básicos relacionados com os assuntos constantes do programa.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber, compreender e ser capaz de utilizar as noções e resultados básicos sobre números reais, funções reais de variável real, sucessões de números reais, limites, continuidade, derivadas, primitivas, integral de Riemann, integrais generalizados e aproximação polinomial de Taylor.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1. Números Reais: estrutura algébrica, ordem, completude.

2. Funções: injectividade, sobrejectividade, imagem e imagem recíproca de conjuntos, composição, função inversa, monotonia, máximos e mínimos, gráfico.

3. Sucessões de números reais como exemplos de funções.

4. Limites: definição e unicidade de limite de uma função num ponto, limites laterais e aritmética de limites; limites no infinito, limites infinitos e assímptotas.

5. Continuidade: a propriedade dos valores intermédios; teoremas de Bolzano, Cauchy e Weierstrass.

6. Derivadas: motivação geométrica e definição; cálculo de derivadas funções elementares e propriedades algébricas; derivada da função composta da função inversa; anulamento da derivada nos extremos locais; Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy; aplicações à determinação de extremos de funções, intervalos de monotonia e ao esboço de gráficos; segunda derivada e concavidade; indeterminações, Regra de L'Hôpital. Teorema de Darboux.

7. Primitivas: primitivas de funções elementares; primitivação por partes e por substituição.

8. Integrais: conceito de área; integral de Riemann de uma função limitada num intervalo; propriedades básicas dos integrais; Teorema Fundamental do Cálculo e consequências; cálculo de integrais; integrais generalizados: caso das funções contínuas definidas em intervalos não limitados e caso das funções contínuas não limitadas num intervalo limitado. 

9. Aproximação polinomial: polinómio de Taylor; tangência de grau n de uma função ao seu polinómio de Taylor de ordem n num ponto fixado; resto de Taylor; cálculo de valores aproximados de funções.

Bibliografia Obrigatória

Robert A. Adams; Calculus. ISBN: 0-201-39607-6

Bibliografia Complementar

Joseph W. Kitchen Jr.; Calculus
Barry M. Mitchell; Calculus without analytic geometry
Michael Spivak; Calculus. ISBN: 0-914098-89-6

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas. São disponibilizados materiais de apoio na página da disciplina no Sigarra e no Moodle. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	169,00
Frequência das aulas	72,00
Trabalho escrito	2,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não é exigida nenhuma condição para obtenção de frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer exame requerido ao abrigo de estatutos especiais constará de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova (oral ou escrita) eliminatória, destinada a avaliar se o estudante está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita. Caso tal não se verifique (isto é, se o estudante não tem conhecimentos minimos para ir a exame), o estudante será reprovado sem ir a exame escrito.

Melhoria de classificação

Os estudantes têm acesso a um exame de recurso para melhoria de nota.
(ver "Fórmula de Cálculo da Classificação Final")

Observações

A qualquer aluno pode ser exigida a realização de uma prova oral para esclarecer dúvidas que tenham surgido relativamente às provas ou trabalhos de avaliação.