Complementos de Geometria

Código:

M3004

Sigla:

M3004

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2023/2024 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	48	162
L:CC	1	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	6	48	162
			3
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	48	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	48	162
			3
L:M	23	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	48	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	48	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Relacionar a geometria elementar e os seus desenvolvimentos "modernos" (geometria afim e geometria projectiva) com a linguagem da álgebra, em particular da álgebra linear.

Resultados de aprendizagem e competências

Ver ponto anterior.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

- Álgebra Linear
- noções de geometria elementar

Programa

1) Geometria afim: coordenadas afins, transformações afins, estrutura abstracta de espaço afim, referenciais afins, razão de três pontos colineares, uso de métodos afins para obtençãio de resultados geométricos elementares.

2) Circunferências no plano euclidiano (abordadas através das equações cartesianas): potência de um ponto relativamente a uma circunferência, circunferências ortogonais, feixes de circunferências, inversão.

3) Rectas projectivas reais e homografias: transformações de Möbius; razão dupla de quatro números reais; razão dupla de quatro pontos colineares e de quatro rectas concorrentes no plano; divisão harmónica de quatro pontos; homografia entre duas rectas; homografia de uma recta em si mesma. Coordenadas homogéneas e homografias no plano projectivo real. As homografias do plano projectivo que deixam invariante a recta de infinito são precisamente as transformações afins de R^2.

4) Estudo elementar das cónicas no plano euclidiano: definição por foco e recta directriz; equação cartesiana; definição bifocal (cónicas com centro); secções planas de um cone de revolução (teorema de Dandelin); intersecção de uma cónica com uma recta; tangentes a uma cónica; propriedades particulares (em especial propriedades ópticas) das parábolas, elipses e hipérboles.

5) Cónicas no plano projectivo complexo: curvas algébricas de segundo grau; intersecção de uma cónica regular com uma recta; uma cónica não é regular (i.e., a matriz de uma sua equação tem determinante igual a zero) se e só se ela se decompuser em duas rectas (que podem ser coincidentes); pontos conjugados relativamente a uma cónica; recta polar de um ponto e pólo de uma recta; construção só com régua das tangentes a uma cónica (em particular, a uma circunferência) por um ponto dado. Cónica definida por cinco pontos. Teoremas de Pascal e Brianchon (sobre hexágonos inscritos ou circunscritos em cónicas).

Bibliografia Obrigatória

André Gramain; Géométrie élémentaire. ISBN: 2-7056-6333-9

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria em aulas teóricas, pontualmente complementada com resolução de exercícios.

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	114,00
Frequência das aulas	48,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Qualquer pessoa inscrita na disciplina, indiependentemente da assiduidade, terá direito a submeter-se a exame. A frequência das aulas não é obrigatória.

Fórmula de cálculo da classificação final

Apenas exame final.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer tipo de avaliação especial poderá ser oral ou escrita, ou uma combinação das duas.