Elementos de Topologia e Análise

Código:

M3027

Sigla:

M3027

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2021/2022 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:M	10	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
L:M	10	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Compreensão de certos teoremas clássicos da topologia e da análise funcional, e das suas aplicações à análise matemática.

Resultados de aprendizagem e competências

Descritos nos objectivos.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I, II, III
Álgebra Linear e Geometria Analítica I, II

Programa

1. Noções e resultados básicos de topologia: espaços métricos e espaços topológicos; compacidade; funções contínuas; espaços produto.

2. Espaços normados, espaços de Banach e espaços de Hilbert.

3. O teorema do ponto fixo de Banach: aplicações às equações diferenciais (tanto ordinárias como parciais); teorema da função inversa e da função implícita; equações lineares em espaços de Banach.

4. Teorema de Baire; princípio da limitação uniforme; o teorema de Banach-Steinhaus; teorema da aplicação aberta e teorema do gráfico fechado.

5 Teorema de Stone-Weierstrass: versão moderna e versão clássica; extensão aos espaços localmente compactos; o teorema de Stone-Weierstrass em espaços-produtos; funções contínuas sobre espaços métricos compactos; bases em espaços de Hilbert.

6. Teorema de Ascoli e algumas aplicações.

7. Teoremas de Brouwer e de Schauder.

Bibliografia Obrigatória

Chaim Samuel Honig; Aplicações da topologia à análise
Elon Lages Lima; Espaços métricos
Gueorgui V. Smirnov; Curso de análise linear. ISBN: 972-592-153-4

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria em aulas teórico-práticas, com resolução ocasional, por parte do professor, de exercícios exemplificativos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não haverá controlo de assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final será a obtida no exame.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer tipo de avaliação especial poderá ser oral ou escrita, ou uma combinação das duas.

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