Análise III

Código:

M2009

Sigla:

M2009

Nível:

200

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2020/2021 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Química

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	2	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	0	Plano de estudos a partir de 2014	2	-	6	56	162
			3
L:F	60	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162
MI:EF	102	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Introdução os métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias com incidência especial nas equações e sistemas de equações diferenciais lineares.
Estudo de superfícies, integrais de linha e integrais de superfície e estudo dos teoremas clássicos de Análise Vectorial: Teoremas de Green, de Gauss da divergência e de Stokes

Resultados de aprendizagem e competências

Competências de resolução de problemas. Compreensão teórica.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Conteúdos das disciplinas Cálculo Infinitesimal I (ou Análise Real I), Cálculo Infinitesimal II (ou Análise Real II)  e Álgebra Linear I.

Programa

A. Equações diferenciais ordinárias. Estudo de problemas de valor inicial para vários tipos de equações diferenciais ordinárias.

1.  Enunciado do teorema de Cauchy Lipschitz de existência e unicidade de solução do problema de valor incial de um sistema de equações diferenciais de primeria ordem.
Redução de (sistemas de) equações diferenciais de ordem superior a 1 ao caso de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

2. Resolução explícita de alguns tipos equaços diferenciais: Equações diferenciais lineares de primeira ordem, em variáveis separáveis, homogéneas, de Bernoulli, de Ricatti e exactas.

3.  Equaçoes diferenciais lineares. Teoremas de existência e unicidade de soluções.  Soluções da equação homogénea associada. Sistema fundamental de soluções. Método de redução de ordem. Utilização do polinómio característico para determinar um sistema fundamental de soluções no caso de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Métodos para determinar uma solução particular: método dos coeficientes indeterminados, método de  Lagrange da variação das constantes. Exponencial de um operador linear. Sistemas de equações diferenciais lineares.


B. Análise Vectorial:

1. Caminhos em abertos de  R^n. Integrais de de linha, 
Campos de  vectores em abertos de R^n, campos de vectores conservativos, gradiente de uma função escalar, campos de gradientes. Abertos convexos, estrelados e simplesmente conexos.  Condição necessária para que um campo de vectores seja um campo de gradientes.  Teorema de Green.

2.  Subvariedades regulares  R^n: imagem inversa de um valor regular de uma função escalar, parametrizações regulares,  espaço tangente e espaço normal num ponto.  Orientação de uma superfície regular compacta.  Abertos com bordo regular por bocados. Orientação do bordo.

3. Integrais de Superffície de funções escalares.
Áreas de superfícies.  Divergência de um campo de vectores.  Laplaciano de uma função escalar.  Fluxo de um campo de vectores ao longo de uma superfície  Teorema de Gauss da divergência.  Condiçoes para que uma função  escalar seja uma divergência.  Rotacional de um campo de vectores em abertos orientados de R^3.  Condiçoes para que um campo de vectores seja um rotacional.  Teorema de Stokes

Bibliografia Obrigatória

Carlos Menezes; Apontamentos de Análise-III-2020-2021 (Os apontamentos serão disponibilizados no Moodle ao longo do semestre)

Bibliografia Complementar

Braun M.; Differential equations and their applications. ISBN: 0-387-90114-0
Luisa Madureira; Problemas de equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace
Marsden Jerrold; Calculus iii. 2nd ed. ISBN: 0-387-90985-0
Marsden Jerrold E.; Vector calculus. ISBN: 0-7167-0462-5

Observações Bibliográficas

A "bibliografia principal" deverá ser, acima de tudo, o que será leccionado nas Aulas teóricas, concomitantemente com os apontamentos disponibilizados no Moodle.

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas:  Exposição das matérias do programa.
Propostas de exercícios para as aulas práticas.
Aulas práticas: Resolução, pelos alunos, de exercícios propostos e esclarecimento de dúvidas sobre a resolução de problemas e trabalhos propostos.

 

 

 

 

 

 

 

 

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não é obrigatória a frequência das aulas Teóricas ou teórico-prácticas

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final será a nota obtida do exame final.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer tipo de avaliação especial poderá revestir uma das seguintes formas: exclusivamente uma prova oral; uma prova oral e uma prova escrita, somente uma prova escrita.
A opção por uma das alternativas compete exclusivamente ao docente responsável pela unidade curricular.