Teoria de Números e Aplicações

Código:

M3015

Sigla:

M3015

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2020/2021 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=372
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Biologia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	7	Plano de estudos a partir de 2014	2	-	6	56	162
			3
L:F	5	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:M	42	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162
MI:ERS	4	Plano Oficial desde ano letivo 2014	2	-	6	56	162
			3

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Introduzir os conceitos, métodos e resultados básicos de Teoria dos Números e alguns dos seus aspectos computacionais. Dar algumas das suas aplicações criptográficas.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve:

(1) dominar conceitos, métodos e resultados básicos de teoria dos números;

(2) ser capaz de analisar e resolver problemas no âmbito da teoria dos números, utilizando os métodos e resultados que melhor se apliquem aos problemas em estudo;

(3) apreciar os aspetos computacionais da teoria dos números e algumas das suas aplicações criptográficas;

(4) ser capaz de comunicar de forma eficiente e clara as suas resoluções de problemas e compreensão da matéria.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

• Alguns apontamentos sobre a história da Teoria dos Números.


• Divisibilidade em anéis comutativos, nomeadamente no anel dos inteiros e em anéis de polinómios sobre corpos: elementos irredutíveis, primos e unidades.


• Domínios euclidianos e factorização única.


• Aritmética modular: alguns aspectos computacionais; revisão dos teoremas de Fermat, Euler e do chamado "Teorema Chinês dos Restos".


• A cifra RSA e algumas das suas aplicações.


• Rudimentos sobre testes de primalidade e teste de fatorização; números de Mersenne e de Fermat.


• Raízes primitivas e o protocolo de troca de chaves de Diffie-Hellman.


• Resíduos quadráticos, lei de reciprocidade quadrática e a resolução de equações modulares do segundo grau; teste de Pépin para números de Fermat.


• Alguns aspectos da teoria analítica dos números.


• Breve introdução à teoria algébrica dos números.

Bibliografia Obrigatória

Vinogradov I. M.; Elements of number theory. ISBN: 0-486-60259-1
Ireland Kenneth; A classical introduction to modern number theory. ISBN: 0-387-90625-8

Bibliografia Complementar

Harold M. Edwards; Fermat.s last theorem. ISBN: 0-387-90230-9
Oystein Ore; Number theory and its history. ISBN: 0-486-65620-9
Shoup Victor; A computational introduction to number theory and algebra. ISBN: 0-521-85154-8 (Disponível gratuitamente em http://www.shoup.net/ntb)
Menezes Alfred J.; Handbook of applied cryptography. ISBN: 0-8493-8523-7 (Disponível gratuitamente em http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac)
José Plínio de Oliveira Santos; Introdução à Teoria dos Números, IMPA, 2000

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são estudados os conteúdos do programa, recorrendo-se frequentemente a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes na resolução de exercícios e problemas. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados para cada semana. São disponibilizadas folhas de exercícios e outros materiais de apoio às aulas na página da disciplina no Sigarra. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer as suas dúvidas.

Software

PARI/GP

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Teoria dos números

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	60,00
Exame	40,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade para a obtenção de frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

A aprovação à unidade curricular é obtida no exame final.

Haverá dois testes de uma hora cada (em datas a indicar). Cada teste terá um peso de 30% da nota final. O exame consitirá de:

1) uma prova de uma hora com um peso de 40% da nota final para os alunos que pretendam usar a soma das classificações obtidas nos dois testes,

ou (disjuntivo):

2) uma prova de 3 horas com um peso de 100%.

A prova do exame de recurso será feita nos mesmos moldes que a da época normal.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.