Análise Real I

Código:

M1011

Sigla:

M1011

Nível:

100

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2019/2020 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	4	Plano de Estudos Oficial	3	-	9	84	243
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	9	84	243
			3
L:M	112	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	84	243
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Adquirir o conhecimento de conceitos, resultados e técnicas básicas de cálculo diferencial e integral de funções reais de uma variável real.

Resultados de aprendizagem e competências

Os estudantes deverão dominar os conceitos e resultados básicos da análise de funções reais de uma variável real, nomeadamente: sucessões, limites, séries, continuidade, derivação, primitivação, integração, polinómios e séries de Taylor.

Pretende-se também que a unidade contribua para que os alunos trabalhem com rigor conceitos até agora usados de modo intuitivo.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

N/A

Programa

0. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 

Estrutura algébrica, ordem e completude. 

1. LIMITES E CONTINUIDADE

Sucessões: definição e unicidade de limite, sucessões monótonas e limitadas, subsucessões. Definição e unicidade de limite de uma função num ponto. Limites laterais e aritmética de limites.  Caracterização de Heine de limite. Limites no infinito, e assímptotas horizontais e oblíquas. Limites infinitos e assímptotas verticais. Funções contínuas.

2. DERIVADAS E PRIMITIVAS

Motivação geométrica e significado físico da noção de derivada de uma função real de variável real num ponto. Definição de derivada e derivadas laterais num ponto. Primitivas. Derivadas e primitivas de funções elementares.  Relação entre continuidade e derivabilidade. Teorema do enquadramento de limites. Derivada e primitiva da soma e produto por um escalar. Derivada do produto e do quociente. Derivada da função composta e regra de primitivação associada. Derivada da função inversa. Inversas das funções trigonométricas e correspondentes derivadas. Primitivação por substituição. Primitivação por partes. Primitivação de funções racionais.

3. INTEGRAIS

Conceito de área.  Integral de uma função limitada num intervalo. Funções integráveis. Propriedades básicas dos integrais. A função área. Teorema Fundamental do Cálculo e consequências. Cálculo de integrais. Integração por substituição e limites de integração. Integrais impróprios: caso das funções contínuas definidas em intervalos não limitados e caso das funções contínuas não limitadas num intervalo.

4. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO DIFERENCIAL E APLICAÇÕES

Teoremas de continuidade: permanência do sinal na vizinhança de um ponto de continuidade; Teorema dos Valores Intermédios; Teoremas de Bolzano e de Weierstrass.

Teoremas sobre funções deriváveis: anulamento da derivada nos extremos locais (de funções definidas em abertos; Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Aplicações: determinação de extremos de funções; prova de que uma função com derivada nula num intervalo é constante; determinação de intervalos de monotonia e concavidades; classificação dos pontos críticos. Indeterminações. Regra de L'Hôpital. Funções convexas em intervalos fechados. Descontinuidades possíveis de uma função que é derivada de outra num intervalo. Funções de classe C^k.


5. APROXIMAÇÃO POLINOMIAL E SÉRIES

Aproximação polinomial de funções: Polinómio de Taylor; tangência de grau n de uma função ao seu polinómio de Taylor de ordem n num ponto fixado; fórmula de Lagrange para o resto. Aplicação: irracionalidade do número de Neper.

Bibliografia Obrigatória

Kitchen Jr. Joseph W.; Calculus
Adams Robert A.; Calculus. ISBN: 0-201-39607-6

Bibliografia Complementar

Spivak Michael; Calculus. ISBN: 84-291-5139-7 (Vol. 1)

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição do conteúdo realizada pelo docente. Disponibilização de slides para estudo e apoio às aulas teóricas. Disponibilização de folhas de exercícios com indicação antecipada dos exercícios a serem tratados nas aulas teórico-práticas em cada semana, encorajando o trabalho prévio e autónomo dos alunos. Disponibilização de outros conteúdos de apoio na página da disciplina e no Moodle.

Coordenação com a unidade curricular Laboratório de Matemática para visualização e discussão de aspectos relevantes de Análise cujo tratamento não computadorizado é moroso ou mesmo impraticável.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	161,50
Frequência das aulas	75,50
Trabalho escrito	6,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não há registo de faltas, por isso não é exigida assiduidade para a obtenção de frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação consiste num exame final obrigatório, escrito ou oral, com a duração de até 3 horas.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Observações

Artigo 13º do Regulamento Geral para Avaliação dos Discentes de Primeiros Ciclos, de Ciclos de Estudos Integrados de Mestrado e de Segundos Ciclos da U.Porto: "A fraude cometida na realização de uma prova, em qualquer das suas modalidades, implica a anulação da mesma e a comunicação ao órgão estatutariamente competente para eventual processo disciplinar. "