Álgebra Linear e Geometria Analítica

Código:

M1004

Sigla:

M1004

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2017/2018 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:F	65	Plano de Estudos Oficial	1	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	3	-	6	56	162
MI:EF	76	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber e compreender: a resolução e discussão de sistemas de equações lineares usando o método de Gauss , recorrendo à notação matricial dos sistemas; algumas das propriedades mais importantes no cálculo do determinante de uma matriz quadrada, usando-as de acordo com a matriz que lhe é apresentada, e conhecendo em particular a sua interpretação em termos de áreas e volumes; os conceitos básicos e resultados fundamentais relativos a espaços vetoriais e a aplicações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber: resolver e discutir sistemas de equações lineares; calcular o determinante de uma matriz quadrada, recorrendo se necessário a algumas propriedades da função determinante e sua interpretação em termos de áreas e volumes; os conceitos básicos e resultados fundamentais relativos a espaços vetoriais de dimensão finita e aplicações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

• Sistemas de equações lineares: 
  

  Sistemas de equações equivalentes, redução de um sistema à forma escalonada (método de Gauss). Classificação de sistemas relativamente ao número de soluções.

  
  


• Matrizes: 
  

  Matriz quadrada, diagonal, triangular superior e inferior com entradas num corpo (Q, R ou C). Soma de matrizes, produto de uma matriz por um escalar e produto de matrizes. Matriz identidade. Forma escalonada de uma matriz, operações linha, redução de uma matriz à sua forma escalonada. Característica de uma matriz.

  
  

  Sistemas de equações lineares na forma matricial e classificação dos sistemas tendo em conta as características da matriz do sistema e da matriz alargada.

  
  

  Matriz (quadrada) invertível. Unicidade da inversa de uma matriz invertível. A inversa do produto de matrizes invertíveis. Relação da invertibilidade com a característica. Cálculo da inversa de uma matriz invertível.

  
  

  Matriz transposta. Transposta do produto de duas matrizes. Inversa de uma matriz invertível.

  
  


• Determinantes: 
  

  Definição de determinante pelas suas propriedades. O determinante de uma matriz e operações elementares sobre linhas. Relação entre o determinante ser zero e a característica da matriz não ser máxima

  
  

  Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes e regra de Sarrus.

  
  

  Matriz adjunta, determinante da matriz adjunta. Cálculo da inversa de uma matriz (caso exista) usando a adjunta.

  
  

  Sistemas de Cramer e as suas soluções.

  
  

  O produto vectorial, propriedades e exemplos. Interpretação geométrica.

  
  O módulo do determinante de uma matriz 2×2 e de uma 3×3.                                                                           


• Espaços vectoriais: 
  

  Definição, propriedades e exemplos. Subespaços vectoriais. Subespaços vectoriais de R2 e de R3.

  
  

  Somas e intersecções de subespaços vectoriais de um espaço vectorial dado.

  
  

  O espaço das soluções de um sistema homogéneo. Construção das soluções de um sistema à custa de uma solução particular e das soluções do sistema homogéneo associado.

  
  

  Noção de combinação linear. Subespaço gerado por um conjunto e geradores de um espaço vectorial (exemplos). Dependência e independência linear.

  
  

  O resultado de Steinitz (“Steinitz exchange lemma"). O conceito de base e de dimensão de um espaço vectorial.

  
  

  Relação entre a dimensão do espaço gerado por vectores de Rn e a característica (de linha) da matriz cujas linhas correspondem aos vectores. A característica de coluna de uma matriz e demonstração de que coincide com a característica de linha.

  
  

  O conceito de base ordenada, noção de coordenadas relativamente a uma base e de matriz mudança de base. Demonstração de que as matrizes mudança de base são invertíveis e descrição da inversa. O produto de matrizes mudança de base.

  
  

  Somas directas de subespaços. Dimensão da soma de subespaços vectoriais de um espaço vectorial de dimensão finita e existência de complementares.

  
  

  Descrição dos subespaços vectoriais de um espaço vectorial de dimensão finita como conjunto solução de um sistema linear homogéneo. Revisões sobre rectas e planos (que passam pela origem) em R2 e em R3.

  
  


• Aplicações lineares:
  

  Definição e exemplos. A imagem de um subespaço por uma aplicação linear e a imagem recíproca e inversa de um subespaço do espaço de chegada. Definição de uma aplicação linear à custa dos vectores de uma base do espaço de partida. O subespaço de chegada enquanto subespaço gerado pelas imagens dos vectores de uma base do espaço de partida.

  
  

  Matriz de uma aplicação linear entre espaços vectoriais de dimensão finita. Relação entre matrizes de uma aplicação linear relativamente a bases diferentes. A composta de aplicações lineares e a sua matriz. Isomorfismos. Caracterização da matriz da inversa de uma aplicação linear como a inversa da matriz da aplicação linear.

  
  

  Núcleo de uma aplicação linear. Caracterização das aplicações lineares injectivas. O teorema das dimensões. Identificação, a menos de isomorfismo, de qualquer espaço vectorial sobre um corpo K de dimensão finita n com Kn.

  
  

  A dimensão do espaço vectorial constituido pelas aplicações lineares entre espaços vectoriais de dimensão finita. Identificação entre matrizes e aplicaçoes lineares entre espaços vectoriais de dimensão finita.

  
  

  O determinante de um endomorfismo de um espaço vectorial de dimensão finita.

  
  

Bibliografia Obrigatória

Anton Howard; Elementary linear algebra. ISBN: 0-471-66959-8
Edwards jr. C. H.; Elementary linear algebra. ISBN: 0-13-258245-7
Monteiro António; Álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-8298-66-8
Mansfield Larry E.; Linear algebra with geometric applications. ISBN: 0-8247-6321-1

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados. São disponibilizados materiais de apoio na página da disciplina. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

Exame. No exame da época normal e da época de recurso (para alunos que não estejam a fazer melhoria) há a possibilidade do primeiro grupo de perguntas ser substituidos, se o estudante o quiser, pelo resultado de um teste sobre metade da matéria em data a combinar com os estudantes no inicio do semestre e que valerá 10 valores.
A subsituição ou não do grupo será decidida apenas pelos alunos durante a prova (terão sempre acesso  à prova toda). 

Os alunos que estejam a fazer melhoria não podem substituir parte alguma do exame, terão de fazer o exame todo.

Na época de conclusão da licenciatura ou especial não será possível substituir parte alguma do exame.

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova que poderá ser oral e /ou escrita. Em caso algum estes alunos poderão substituir parte do exame por nota obtida em teste.

Provas e trabalhos especiais

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova que poderá ser oral e /ou escrita. Em caso algum estes alunos poderão substituir parte do exame por nota obtida em teste.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova que poderá ser oral e /ou escrita. Em caso algum estes alunos poderão substituir parte do exame por nota obtida em teste.

Melhoria de classificação

Exame. Os alunos que estejam a fazer melhoria não podem substituir parte alguma do exame pela nota obtida em teste, terão de fazer o exame todo.

Observações

A qualquer aluno pode ser exigida a realização de uma prova oral para esclarecer dúvidas que tenham surgido relativamente às provas ou trabalhos de avaliação.