Introdução à Topologia

Código:

M3008

Sigla:

M3008

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2016/2017 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:M	10	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introduzir a teoria de espaços métricos e topológicos.
Mostrar como os espaços métricos são mais gerais que os espaços Euclidianos e os espaços Topológicos mais gerais que os métricos, surgindo como "naturais" extensões.

Introduzir alguns invariantes topológicos que permitam distinguir espaços.

Resultados de aprendizagem e competências

Ser capaz de compreender que os conceitos introduzidos  nos cursos de Análise dos primeiros anos podem ser estendidos a espaços mais gerais e assim provar alguns resultados importantes em Matemática.
Ser capaz de entender a noção de invariante topológico e usá-lo para distinguir ou classificar espaços.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I, II e III ( ou equivalente)

Programa

Espaços Topológicos: Topologia sobre um espaço. Exemplos de espaços topológicos. Os espaços métricos. Comparação de topologias. Comparação de métricas. Métricas equivalentes. Funções contínuas. Continuidade e convergência em espaços métricos. Homeomorfismos. Supremo e ínfimo de uma família de topologias. Topologia gerada por um conjunto de partes de X. Axiomas de numerabilidade.

Construção de Espaços Topológicos: Topologia inicial.Subespaços topológicos. Mergulhos. Topologia inicial para uma família de aplicações. Topologia produto (Tychonoff) e topologia das caixas. Caracterização da topologia produto. Topologia final. Espaços quociente/ Topologia de identificação. Exemplos de espaços quociente. Topologia final para um conjunto de aplicações. Topologia soma. Aplicações definidas aos bocados. Coberturas e famílias local e pontualmente finitas. Uniões de famílias localmente finitas de fechados.

Propriedades  e InvariantesTopológicos: Conexão. Conexão por arcos. Espaços localmente conexos e localmente conexos por arcos. Axiomas de separação. Espaços T₀, T₁, T₂, regulares, completamente regulares e normais. Espaços compactos. Compactos em Espaços Euclidianos. Espaços sequencialmente compactos. Continuidade uniforme. Compactos e normalidade. Teorema de Tychonoff (demonstração no caso finito). Número de Lebesgue de uma cobertura. Lema de Lebesgue. Espaços localmente compactos e regularidade. Produto de espaços métricos. Compactificações. Espaços métricos completos. produto de espaços completos; espaços completos e compacidade; o lema da contração para pontos fixos; o teorema de Baire e aplicações.

Bibliografia Obrigatória

Sutherland W. A.; Introduction to metric and topological spaces. ISBN: 0-19-853161-3
Mendelson Bert; Introduction to topology
Lima Elon Lages 1929-; Espaços métricos. ISBN: 9788524401589
Lima Elon Lages; Elementos de topologia geral
Schubert Horst; Topology. ISBN: 356-02077-0

Observações Bibliográficas

A "bibliografia principal" deverá ser, acima de tudo, o dado Aulas teóricas

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição das matérias do programa.
Propostas de exercícios para resolução pelos alunos.
Resolução, pelos alunos, de exercícios propostos e esclarecimento de dúvidas sobre a resolução de problemas e trabalhos propostos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

Condições de Frequência: Se for excedido o limite de faltas, o aluno não tem frequência, ficando sem acesso a exame, seja na época normal ou de recurso (excepto para os alunos dispensados de frequência).

Fórmula de cálculo da classificação final

Tipo de Avaliação: Avaliação distribuída e/ou exame final

Fórmula de avaliação: Avaliação distribuída e/ou/com exame final

Consideram-se duas componentes da avaliação:
• Avaliação distribuída (facultativa): efectuada com base nos resultados de testes podendo ser corrigida pela avaliação nas aulas práticas (incluindo grau de participação e de desempenho nas aulas)***.
• Exame escrito final
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
A avaliação será feita através de dois testes não obrigatórios e exame final.
A admissão ao segundo teste será condicionada pela nota mínima de 8,0 valores.
A nota do 2º teste não deverá ser inferior a 6,0 valores.
Os testes poderão levar a dispensa de exame final.
A nota de dispensa não será necessariamente a média aritmética das notas dos testes (ver***).
O aluno com nota superior a dezoito valores em testes ou exame final poderá eventualmente ser submetido a uma prova extra.
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A nota final no exame normal será a maior das obtidas por avaliação distribuída e/ ou  exame normal

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Segundo as Normas Gerais de Avaliação.

Melhoria de classificação

A classificação pode ser melhorada por meio de melhoria do resultado do exame final, de acordo com as regras em vigor.