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Complementos de Geometria

Código: M3004     Sigla: M3004     Nível: 300

Áreas Científicas
Classificação Área Científica
OFICIAL Matemática

Ocorrência: 2016/2017 - 1S

Ativa? Sim
Unidade Responsável: Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável: Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla Nº de Estudantes Plano de Estudos Anos Curriculares Créditos UCN Créditos ECTS Horas de Contacto Horas Totais
L:B 0 Plano de Estudos Oficial 3 - 6 56 162
L:M 5 Plano de Estudos Oficial 2 - 6 56 162
3
L:Q 0 Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17 3 - 6 56 162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Estudo das geometrias afim e projectiva sobre um corpo  e uma introdução às curvas algébricas planas. Será feito uso  teoria das Acções de Grupos,  da Álgebra  Linear, Álgebra Bilinear e Formas Quadráticas, e resultados elementares  sobre anéis, anéis de polinómios sobre um corpo e  extensões de corpos

Resultados de aprendizagem e competências

Assimilação dos conceiitos e resultados, principais (incluindo as suas demonstraçõies) leccionados no curso e capacidade para resolver problemas  sobre geometria afim, geometria projectiva e curvas algébrica planas, usando métodos da teoria das acções de grupos, álgebra linear. álgebra bilinear e formas quadráticas, álgebras de polinómios.

 

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisitos: Álgebra Linear I e Álgebra Linear II, Cálculo Infiniteismal I  (ou Análise Real I),  Álgebra I (ou Teoria dos Grupos)

Programa

A. Acções de Grupos:
Definições equivalentes de acção de grupo, Supespacos invariantes e subespaços fixos. Acções induzidas: restrição a subespaços invariantes, e  a um subgrupo, acção regular induzida num espaço de funções com domínio igual ao espaço da acção de base. Acções por translação e por conjugação num grupo. Órbitas, espaço quociente de uma acção de grupo.  Grupo de isotropia de um ponto, propriedade de conjugação dos grupos de isotropia. Acções fiéis, k-transitivas, Equação das classes, teorema de Burnside.  G-espaços e morfismos de G-espaços (aplicações equivariantes) . Espaços homogéneos.  Produto semi-directo de grupos.

 

B. Complementos de Álgebra Linear sobre um corpo K: Sucessões exactas de espaços vectoriais.  Somas de subespaços vectoriais, subespaços vectoriais transversais. Somas directas de espaços vectoriais,  Projecçções e simetrias vectoriais.
Espaço Quociente de um espaço vectorial por um seu subespaço.
Dual de um espaço vectorial E de dimensão finita. Transposta de uma aplicação linear. Bidual de E, isomorfismo canónico entre E e E^**.  Aniquilador de um sub-espaço vectorial, dual de um subespaço e de um espaço quociente.
Grupo linear, GL(E), e grupo linear especial , SL(E),  de um espaço vectorial E. Subgrupo das homotetias H(E). GL(E) como produto semi-directo de SL(E)  por H(E). Automorfismos lineares de E que fixam um hiperplano:  dilatações e transvecções.  Geração de H(E) pelas dilatações.  Geração de SL(E) pelas transvecções. Bijecção das classes de conjugação das dilatações com K^*. Quaisquer duas transvecções são conjugadas em GL(E).  Determinação do  centro de GL(E)  (isto é H(E)).
Acção natural de GL(E) em E e em E\{0}, no espaço das bases ordenadas de E, e no reticulado de subespaços vectoriais de E. Isomorfismo entre o grupo GL(E/F) e o subgrupo   GL_F(E) dos elementos de GL(E) que deixam invariante um subespaço vectorial  F de dimensão k  de E. Bijecçao entre a Grassmanniana G(k, E) (conjunto dos subespaços vectoriais de E de dimensão k)  e o espaço homogéneo GL(E)/GL_F(E). Bijecção natural entre  G(k,E) e  G(dim(E)-k, E^*).

C. Geometria Afim Linear:
Espaço afim X com espaço diector E como espaço homogéneo regular do grupo abeliano  (E,+) , o grupo das translações T(X). Morfismos afins, Isomorfismos afins. Referenciais afins. Coordenadas cartesianas. Os grupos afins GA(X) e SA(X),   O grupo afim GA(X) como produto semi-directo de GL(E) com T(X),   O subgrupo HT(E) das homotetias-translações.   Baricentros, isobaricentros. Coordenadas baricêntricas.
Subespaços afins de X,  Operaçoes de intersecção e junção ("join") de subespaços afins. Paralelismo e transversalidade de subespaços afins.  Projecções afins.  Aplicações afins que fixam um hiperplano afim: dilatações e transvecções afins.  Geraçao de GA(X) por dilatações afins e de SA(X) por transvecções afins.
Teoremas clássicos da geometria afim: Thales, Desargues,  Pappus, Ceva e Menelaus.
Teorema fundamental da geometria afim.

D. Geometria Projectiva Linear:
Espaços projectivo P(E).  Morfismos (parciais) projectivos, isomorfismos projectivos (homografias). Referenciais projectivos. Coordenadas homogéneas. Atlas afim
Subespaços projectivos. Reticulado dos subespaços projectivos de P(E),  Operações de intersecção e junção de subespaços projectivos. Subespaços projectivos transversais (suplementares).

Grupos projectivos PGL(E) e PSL(E). Homologias (homografias associadas a dilataçoes de E). Elações (homografias associadas a transvecções de E).  Geração de PGL(E)  por homologias e elações.

Projecção, secção e perspectividade com centro num subespaço projectivo.  
Recta projectiva: parametrizações globais, razão cruzada,  conjuntos harmónicos,  grupo projectivo, involuções e perspectividades,  topologia nos casos real e complexo, grupo de Moebius.

Teoremas clássicos da geometria projectiva: Desargues, Pappus.  Teorema fundamental da geometria projectiva.

Dualidade Projectiva.
Espaço projectivo P(E^*) (em bijecção com H(P(E))= G(dim(E)-1, E)). Dualidades de P(E). Dualidade canónica P(E)->H(P(E)). Correlações entre espaços projectivos. Bijecção entre o conjunto das dualidades e o conjunto das correlações. Princípio de dualidade projectiva.

Completamento projectivo de um espaço afim. Estrutura afim no complementar de um hiperplano projectivo ("subespaço afim" de P(E)). 
Restrição de uma homologia ao espaço afim  determinado pelo hiperplano associado à homologia (homotetias e dilatações afins afins) Restrição de uma elação ao o espaço afim determinado pelo hiperplano associado à elação (translações e transvecções afins)


E. Complementos  sobre formas quadráticas

Espaço  vectorial das  formas bilineares num espaço vectorial de dimensão finita.  Matriz de Gram de b relativamente a uma base. Característica de b. Forma bilinear não singular (não degenerada).
Formas bilineares reflexivas, simétricas e anti-simétricas. Forma quadrática associada  a uma forma bilinear simétrica. Fórmula de polarização. Correspondência bijectiva entre formas bilineares simétricas e formas quadráticas no caso da característica de K ser diferente de 2.Vectores ortogonais. Ortogonal de um subconjunto de E. Propriedades do operador formação do ortogonal de um subespaço vectorial. Existência de bases ortogonais. Núcleo (radical) de uma forma quadrática. Formas quadráticas congruentes.
Classificação a menos de congruência das  formas quadráticas sobre o corpo dos números reais, sobre um corpo finito e sobre  um corpo algebricamente fechado.  Teorema do índice de inércia de Sylvester.


F. Espaço Projectivo das Quádricas no caso do corpo K ter característica diferente de 2.

Espaço vectorial Q(E) das formas quadráticas em E.  Espaço projectivo P(Q(E)) das quádricas. Quádrica projectiva.
Quádrica própria. Redução de uma quádrica a uma quádrica própria no complepentar ortogonal do núcleo.  Equação duma quádrica num referencial projectivo. Variedade projectiva V(q) de P(E) dos pontos de uma quádrica projectiva q. Equação de V(q) em coordenadas. Quádricas de uma recta projectiva. Subespaços projectivos tangemtes a uma quádrica.
Conjugação.  Polaridade (dualidade) relativamente a uma quádrica própria.
Hiperplanos tangentes a uma quádrica.
Teoremas de Pascal e Brianchon.



Bibliografia Obrigatória

Carlos Menezes; Apontamentos de Complementos de Geometria (A serem disponibilizados durante o semestre)

Bibliografia Complementar

Samuel Pierre; Projective geometry. ISBN: 0-387-96752-4
Berger Marcel; Geometry. ISBN: 3-540-11658-3 (Vol. I)
Berger, Marcel; Geometrie vol 1 a 6, Nathan, 1977 (Existente nabiblioteca da FCUP)

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição dos resultados teóricos.  Resolução de exercícios.

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação Peso (%)
Exame 100,00
Participação presencial 0,00
Total: 100,00

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação será a obtida no exame final.

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