Cálculo Infinitesimal II

Código:

M112

Sigla:

M112

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2014/2015 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=2437
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	5	Plano de Estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-
L:B	0	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:F	63	Plano de estudos a partir de 2008	1	-	7,5	-
L:G	0	P.E - estudantes com 1ª matricula anterior a 09/10	3	-	7,5	-
		P.E - estudantes com 1ª matricula em 09/10	3	-	7,5	-
L:M	92	Plano de estudos a partir de 2009	1	-	7,5	-
L:Q	0	Plano de estudos Oficial	3	-	7,5	-
MI:EF	52	Plano de Estudos a partir de 2007	1	-	7,5	-

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber: identificar os gráficos de equações quadráticas no plano e no espaço; os resultados básicos do cálculo de curvas parametrizadas no plano e no espaço; os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis e compreender as noções de derivada parcial, gradiente, pontos de máximo e mínimo local, plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis sendo capaz de determinar valores extremos de funções reais de várias variáveis com restrições; os métodos de integração múltipla e ser capaz de os usar na determinação de áreas, volumes, etc, de regiões do plano ou do espaço recorrendo, se necessário, a mudança de variáveis.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber: identificar os gráficos de equações quadráticas no plano e no espaço; os resultados básicos do cálculo de curvas parametrizadas no plano e no espaço; os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis e compreender as noções de derivada parcial, gradiente, pontos de máximo e mínimo local, plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis sendo capaz de determinar valores extremos de funções reais de várias variáveis com restrições; os métodos de integração múltipla e ser capaz de os usar na determinação de áreas, volumes, etc, de regiões do plano ou do espaço recorrendo, se necessário, a mudança de variáveis.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Cálculo real e conceitos básicos de Álgebra Linear e Geometria Analítica I.

Programa

1. Cónicas e quádricas.
R^n com a estrutura usual de espaço vectorial euclidiano. Diagonalização de formas quadráticas. Superfícies de segundo grau.

2. Curvas parametrizadas.
Velocidade, aceleração, curvatura, o triedro de Frenet.  

3. Cálculo diferencial de funções vectoriais de várias variáveis.
Gráficos de funções (escalares) de várias variáveis, curvas de nível e superfícies de nível. Abertos e fechados em R^n. Ponto de acumulação e ponto isolado. Limites e continuidade de funções. Derivadas direccionais e derivadas parciais. Derivada de uma função escalar num ponto. Gradiente. Derivabilidade e gradiente. Plano tangente ao gráfico de uma função. Interpretação do vector gradiente. Recta normal e hiperplano tangente a uma superfície de nível num ponto. Derivadas de ordem superior. Igualdade das derivadas parciais mistas. Derivada de uma função vectorial num ponto. Matriz jacobiana. Derivada da função composta. Exemplos. Teorema da função inversa. Máximos e mínimos de funções escalares de várias variáveis. Classificação dos extremos usando derivadas parciais de segunda ordem. Extremos condicionados: o método dos multiplicadores de Lagrange.

4. Integrais múltiplos.
Definição de integral de uma função (de várias variáveis) sobre um rectângulo e sobre uma região limitada. Teorema de Fubini. Cálculo de integrais duplos e triplos via integrais iterados. Teorema da mudança de coordenadas para integrais múltiplos. Aplicações: integrais duplos em coordenadas polares, e integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Bibliografia Obrigatória

Lang Serge; Calculus of several variables. ISBN: 0-387-96405-3
Stewart James; Calculus. ISBN: 978-0-495-38273-7

Bibliografia Complementar

J.Marsden and A.Weinstein; Calculus. Vol. III. , New York: Springer-Verlag, 1985
R.Larson, R.P.Hostetler and B.H.Edwards; Calculus (8th Edition), Houghton Mifflin Company , 2006 (Tradução em Português: Cálculo (Vol. II), Mc Graw-Hill (2006))
Lima Elon Lages; Curso de análise
Edwards Jr. C. H.; Advanced calculus of several variables. ISBN: 0-12-232550-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados. São disponibilizados materiais de apoio na página da disciplina. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade para a obtenção de frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

Época normal

Data do Teste 1: 14 de Abril de 2015.

Classificação do Teste 1: Y (entre 0 e 10 valores).

Data do Teste 2: 4 de Junho de 2015.

Classificação do Teste 2: Z (entre 0 e 10 valores).

Classificação final na época normal:

(Y + Z) se (Y + Z) é maior ou igual a 10 valores e o aluno não veio ao exame da época normal.

 Classificação do Exame: X (entre 0 e 20 valores).

Classificação final na época normal:

X se o aluno veio ao exame da época normal.

 Observação 1: o exame da época normal terá duas partes, cada valendo 10 valores, cujos conteúdos a ser avaliados corresponderão aos conteúdos dos Testes 1 e 2; o aluno que venha ao exame da época normal poderá optar por deixar em branco alguma das duas partes, sendo nesse caso considerada a classificação que teve no respetivo teste.

 Época de recurso

Classificação final:

Classificação obtida no exame da época de recurso (entre 0 e 20 valores).

Observação 2: o exame da época de recurso terá duas partes, cada valendo 10 valores, cujos conteúdos a ser avaliados corresponderão aos conteúdos dos Testes 1 e 2; o aluno que não tenha sido aprovado na época normal e venha ao exame da época de recurso  poderá optar por deixar em branco alguma das duas partes, sendo nesse caso considerada a classificação que teve no respetivo teste.

Observação 3: o aluno que tenha sido aprovado na época normal e venha fazer exame de melhoria de nota na época de recurso, não poderá usar qualquer das classificações que obteve nos testes (caso tenha realizado um ou ambos os testes). 

 Observação 4: No exame da época de recurso não pode ser usada a classificação de qualquer parte do exame da época normal. 

Classificações superiores a 17 valores

Classificações superiores a 17 valores (quer no total dos testes, quer no exame da época normal, quer no exame da época de recurso) só serão atribuídas após realização de uma prova escrita complementar (a ser realizada em data posterior ao exame da época normal).

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer exame requerido ao abrigo de estatutos especiais constará de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova (oral ou escrita) eliminatória, destinada a avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Melhoria de classificação

O aluno que tenha sido aprovado na época normal e venha fazer exame de melhoria de nota na época de recurso, não poderá usar qualquer das classificações que obteve nos testes (caso tenha realizado algum ou ambos os testes).

O aluno que tenha sido aprovado no ano letivo 2013/14 e que queira fazer melhoria de nota, só poderá fazê-lo por exame e não por testes.

Observações

Júri da disciplina:Ana Paula Dias e José Carlos Santos.