Geometrias Não Euclideanas

Código:

M351

Sigla:

M351

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2013/2014 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:AST	1	Plano de Estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:M	10	Plano de estudos a partir de 2009	3	-	7,5	-

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Ficar a conhecer os aspectos centrais das geometrias não euclidianas de dimensão dois, esférica e hiperbólica, com maior incidência no tratamento métrico (pela via Kleiniana do estudos das isometrias) e menor no axiomático.
A um nível mais avançado, relacionar aspectos destas geometrias com tópicos importantes da análise complexa (e.g. transformações lineares fraccionárias) da geometria diferencial e da topologia (classificação das superfícies geométricas e transformações de revestimentos)

Resultados de aprendizagem e competências

Descritos nos Objetivos.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1.O Plano Euclidiano.
Breve história do 5º Postulado de Euclides e das axiomatizações para a geometria plana. Características distintivas da geometria euclidiana: propriedades equivalentes ao 5º postulado; soma dos ângulos de triângulos, existência de similitudes.
Modelos de incidência para as geometrias esférica e hiperbólica e medida de ângulos. O semi-plano superior e o disco de Poincaré.
Congruência e métrica. As isometrias do plano euclidiano e sua classificação: o teorema das três reflexões.
2.Superfícies Euclidianas.
O cilindro, o cilindro torcido (tira de Moebius), o toro e a garrafa de Klein.
Grupos de isometrias do plano e superfícies quocientes: regiões fundamentais, grupos descontínuos e grupos não-descontínuos; exemplos.
Superfícies euclidianas completas e completas; revestimento pelo plano (teorema de Hopf), isometrias de revestimento e o teorema de Killing-Hopf.
3. Geometria Esférica
A esfera S^2 no espaço euclidiano: a métrica geodésica, isometrias e o teorema das três reflexões.
O subgrupo das rotações: Isom+(S^2) e SO(3).
Projecção estereográfica, inversão e coordenadas complexas na esfera. Propriedades geométricas da inversão. Reflexões e rotações como funções complexas.
A aplicação antípoda e o plano elíptico. Grupos, esferas e espaços projectivos: SO(3) e P_3(R); Quaterniões e S^3.
A área de um triângulo: o teorema de Harriot. Tecelagens na esfera e os poliedros regulares.
4.O Plano Hiperbólico.
Curvatura negativa e o modelo do semi-plano de Poincaré. A pseudo-esfera: curvatura, parametrização no plano x-y e a métrica associada em H^2.
O modelo do semi-plano e o modelo conforme do disco (de Poincaré).
Isometrias de H^2. Propriedades básicas da distância, caracterização das rectas-geodésicas e reflexões. O teorema das três reflexões. Isometrias como funções complexas (teorema de Poincaré). A descrição e classificação das isometrias da H^2.
A área de um triângulo hiperbólico.
O modelo projectivo do disco. O espaço hiperbólico.
5.Superfícies Hiperbólicas
Rotações no infinito do plano hiperbólico e superfícies cuspidas: o completamento da pseudo-esfera; a esfera perfurada; rectas densas na esfera perfurada
Construção de superfícies hiperbólicas e polígonos em H^2. Superfícies hiperbólicas completas e compactas. Completude das superfícies geométricas compactas.
Classificação geométrica das superfícies. Caminhos e geodésicas em superfícies geométricas; lacetes geodésicos. Homotopia livre e classificação dos lacetes geodésicos.

Bibliografia Obrigatória

000050577. ISBN: 0-387-97743-0

Bibliografia Complementar

000052997. ISBN: 0-19-853447-7
000081896. ISBN: 0-7167-2446-4

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas e teórico-práticas. Os estudantes são supostos participar activamente nas aulas.

Software

CAR

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Geometria

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	50,00
Teste	50,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

Cumprimento da Assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final é a média das classificaçõe de teste e do exame final

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Realização de um único exame, de acordo com as regras previstas na Faculdade de Ciências

Melhoria de classificação

Realização de um único exame, de acordo com as regras previstas na Faculdade de Ciências