Análise Funcional

Código:

M503

Sigla:

M503

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2022/2023 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Programa Doutoral em Matemática - Interuniversitário

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
IUD-M	8	PE do Prog Inter-Univ Dout Mat	1	-	9	60	243

Língua de trabalho

Inglês

Objetivos

O principal objectivo é fazer uma introdução geral à Análise Funcional, de forma a proporcionar ao aluno ferramentas que lhe permitam estudar e entender mais aprofundadamente temas relacionados em diferentes áreas como Análise, Equações Diferenciais, Teoria da Probabilidade ou Teoria Ergódica.

Resultados de aprendizagem e competências

Familiaridade com resultados e conceitos sobre funcionais e operadores em espaços de Banach e de Hilbert.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1. Teorema de Hahn-Banach
   
   - Forma analítica: extensão de funcionais lineares.
   - Forma geométrica: separação de conjuntos convexos.
   - Bidual. Relações de ortogonalidade.
   
   


2. Operadores em espaços de Banach
   
   - Princípio da limitação uniforme.
   - Teorema da Aplicação Aberta e Teorema do Gráfico Fechado.
   - Espaços complementares. Inversos direitos e esquerdos.
   - Operadores não limitados. Operadores densamente definidos. Operador Adjunto. Operadores fechados.
   - Caracterização de operadores com imagem fechada.
   - Caracterização de operadores sobrejetivos. 
   
   


3. Topologias fracas e reflexividade
   
   - Propriedades elementares da topologia fraca.
   - Topologia fraca, conjuntos convexos e operadores lineares.
   - Topologia fraca*.
   - Espaços reflexivos. Relação com topologias fracas.
   - Espaços separáveis. Relação com reflexividade e topologias fracas.
   - Espaços uniformemente convexos. 
   
   


4. Espaços L^p
   
   - Generalidades sobre medida e integração.
   - Propriedades elemengtares sobre espaços L^p.
   - Reflexividade. Separabilidade. Dualidade.
   - Convolução e regularização.
   
   


5. Espaços de Hilbert
   
   - Definição e propriedades elementares.
   - Projeção num conjunto fechado convexo.
   - Espaço dual.
   - Teoremas de Stampacchia e Lax-Milgram
   - Somas de Hilbert. Bases ortonormais.
   
   


6. Operadores compactos
   
   - Definição e propriedades elementares.
   - Operador adjunto.
   - Teoria de Riesz-Fredholm.
   - Espectro.
   - Decomposição espectral de opreadores compactos autoadjuntos.
   
   

Bibliografia Obrigatória

Brezis, Haim; Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011. ISBN: 978-0-387-70914-7
Haim Brézis; Analyse fonctionnelle. ISBN: 2-225-77198-7

Bibliografia Complementar

Elements of Theory of Functions and Functional Analysis. ; A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin
Walter Rudin; Functional analysis. ISBN: 0-07-054225-2
John B. Conway; A course in functional analysis. ISBN: 0-387-96042-2

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Cada aula terá a duração de 2 horas. Sempre que possível, a última meia hora de cada aula deverá ser destinada à resolução de exercícios. Serão disponibilizadas exercícios sobre os tópicos em estudo.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	70,00
Trabalho escrito	30,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	30,00
Frequência das aulas	58,00
Trabalho escrito	5,00
Total:	93,00

Obtenção de frequência

Não se aplica.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação consistirá num exame final que será cotado para 14 valores e um trabalhos de casa com um peso de 6 valores na nota final.