Probabilidades e Processos Estocásticos

Código:

M509

Sigla:

M509

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2021/2022 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Programa Doutoral em Matemática - Interuniversitário

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
IUD-M	6	PE do Prog Inter-Univ Dout Mat	1	-	9	60	243

Língua de trabalho

Inglês

Objetivos

O principal objetivo do curso é a introdução dos fundamentos da moderna teoria da probabilidade.

O primeiro objetivo é a introdução breve e resumida dos conceitos e resultados fundamentais da teoria de medida e integração para uniformizar a formação dos estudantes.

O curso é estruturado de modo a que os estudantes aprendam ferramentas e conceitos importantes usados com frequência na Teoria das Probabilidades e suas aplicações. Ou seja: a lei 0-1 de Kolmogorov, a representação e imersãoo de Skorokhod,  o teorema de Prokhorov, os princípios de invariância e o teorema de Donsker, só para mencionar alguns.

Além disso, outro objetivo importante é o estudo de processos especiais como o movimento Browniano e martingalas.

Resultados de aprendizagem e competências

Aquisição de conhecimento de tópicos avançados em:
- Teoria da Probabilidade, incluindo a familiarização com  certos conceitos e resultados, como o teorema da existência de Kolmogorov, a representação e imersão de Skorokhod, o  teorema de Prokhorov, princípios de invariância e o teorema de Donsker.
- processos estocásticos, como o movimento Browniano e Martingalas e seu espectro de aplicações.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1  Preliminares
1.1 Espaços de probabilidade
1.2 Integração
1.3 Continuidade absoluta
1.4 Noções de convergência e Teorema de Slutsky
 

2 Variáveis aleatórias e processos estocásticos
2.1 Distribuições e representação de Skorokhod
2.2 Teorema da existência de Kolmogorov
2.3 Independência
2.4 Lei 0-1 de Kolmogorv
2.5 Lemas de Borel-Cantelli
2.6 Esperança condicional 

3 Martingalas
3.1 Definições e propriedades
3.2  Tempos de paragem e desigualdades
3.3  Teorema de convergência das (sub)martingalas
3.4 Teorema do limite central
3.5 * Aplicação a processos estacionários mistos (a aproximação de Gordin)

4 Movimento Browniano
4.1 Continuidade de caminhos e sua irregularidade
4.2 Propriedade forte de Markov e princípio da reflexão
4.3 Imersão de Skorohod

5 Convergência fraca
5.1 Teorema de Portmanteau
5.2  Teorema de de Prokhorov
5.3 Convergência fraca em C [0,1]
5.4 Teorema de Donsker e princípio da Invariância

Bibliografia Obrigatória

Billingsley Patrick; Probability and measure. ISBN: 0-471-00710-2

Bibliografia Complementar

Billingsley Patrick; Convergence of probability measures
Kallenberg Olav; Foundations of modern probability. ISBN: 978-1-4419-2949-5
Kingman J. F. C. (John Frank Charles); Introduction to measure and probability. ISBN: 0-521-05888-0
S. R. S. Varadhan; Probability theory, 2001. ISBN: 0-8218-2852-5
S. R. S. Varadhan; Stochastic processes, 2007. ISBN: 978-0-8218-4085-6
D. W. Stroock; Probability theory, 1993. ISBN: 0-521-43123-9

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas onde os tópicos do programa são apresentados, exercícios e problemas relacionados são discutidos. Os exercícios trabalhados, exemplos e problemas são fundamentais para auxiliar a compreensão dos conceitos e ilustrar o seu potencial de aplicação. Proposta de um projeto de trabalho, a realizar por cada estudante, envolvendo um relatório escrito e posterior apresentação oral e discussão.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Teoria das probabilidades

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	60,00
Trabalho escrito	40,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Apresentação/discussão de um trabalho científico	4,00
Estudo autónomo	183,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Trabalhos práticos/ Projeto submetidos nos prazos fixados.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação compreende duas componentes: projeto (40%) e exame (60%), exigindo-se uma nota mínima de 50%  do valor de cada uma das componentes.