Tópicos Avançados de Dinâmica e Geometria

Código:

M6002

Sigla:

M6002

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2017/2018 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://cmup.fc.up.pt/cmup/islabour/Contents/DS2016.html
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Programa Doutoral em Matemática Aplicada

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
PDMATAPL	4	Plano de Estudos Oficial	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Inglês

Objetivos

Dotar os alunos com ferramentas básicas em Geometria de Variedades e Sistemas Dinâmicos.

Resultados de aprendizagem e competências

Domínio de ferramentas básicas em Geometria de Variedades e Sistemas Dinâmicos.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisitos: noções de análise em R^n

Programa

Primeiro módulo: Variedades (Domenico Catalano, U. Aveiro)

Espaços equclideanos como espaços métricos. Espaços métricos como espaços topológicos. Funções contínuas e homeomorfismos. Variedades topológicas como espaçøs euclideanos locais. Obstruções topológicas: espaços conexos, componentes conexas, invariância do número de componentes conexas por funções contínuas.

Variedades diferenciáveis: definições e exemplos. Difeomorfismos. Funções chatas. O espaço tangente, vetores tangentes como derivações. Aplicações diferenciáveis. O fibrado tangente como variedade.

Campos de vetores como derivações. Parêntesis de Lie. Curvas integrais. O fluxo de um campo de vetores. Um-formas. Subvariedades, imersões e submersões. Tensores e campos de tensores.

Segundo módulo: Dinâmica (Isabel Labouriau, U. Porto)

Definição abstrata de sistema dinâmico, equações diferenciais ordinárias, equações às diferenças. Campos de vetores e equações diferenciais ordinárias: fluxo; retrato de fase; pontos de equilíbrio. Equações às diferenças, relação com equações diferenciais: discretização, aplicação de primeiro retorno.

Equações às diferenças lineares e hiperbólicas, subespaços estável e instável. Para equações não hiperbólicas, espaço central.

Equações diferenciais lineares. Exponencial de uma aplicação linear, relação com o fluxo de uma equação diferencial linear. Métodos de cálculo da exponencial. Estabilidade segundo Liapunov e assintótica de um ponto de equilíbrio. Equilíbrio instável. Equações diferenciais lineares hiperbólicas, subespaços estável e instável. Para equações não hiperbólicas, espaço central.

Retratos de fase para todas as equações diferenciais lineares no plano, estabilidade dos equilíbrios, subespaços invariantes.

Prova de que o conjunto dos isomorfismos lineares hiperbólicos é aberto e denso no conjunto das aplicações lineares inversíveis de $R^n. Prova de que o conjunto dos campos de vetores lineares hiperbólicos é aberto e denso no conjunto das aplicações lineares de $R^n.

Relações de equivalência para a classificação de sistemas dinâmicos: conjugação diferenciável e topológica, equivalência topológica. Teorema da retificação do fluxo. A dimensão do subespaço estável como um invariante topológico completo para campos de vetores lineare hiperbólicos. Conjuntos alfa- e omega-limite. Secção local de um campo de vetores, teorema de Poincaré-Bendixson.

A métrica C^r no espaço C^r(M,R^s) para uma variedade diferenciável compacta M e breve discussão da topologia C^infinito. Prova de que o conjunto de difeomorfismos de classe C^r é um subconjunto aberto de C^r(M,M).

Transversalidade de subespaços vetoriais, de uma função e uma subvariedade, de duas subvariedades, de duas aplicações entre variedades, de duas subvariedades, relação com a codimensão. Prova de que o conjunto das aplicações de uma variedade compacta que são transversas a uma subvariedade fechada é aberto. O teorema fraco de transversalidade de Thom e estabilidade estrutural.

Estabilidade de equilíbrios de campos de vetores, primeiro e segundo teoremas de Liapunov. Resultados análogos para equações às diferenças.

Estabilidade estrutural local de campos de vetores sob equivalência topológica: pontos de equilíbrio simples como condição necessária. O conjunto dos campos de vetores em uma variedade M cujos equilíbrios são todos simples é residual, se M for compacta então é aberto e denso. Exemplo de um campo de vetores simples que não é estruturalmente estável.O conjunto dos campos de vetores em uma variedade M cujos equilíbrios são todos hiperbólicos é residual, se M for compacta então é aberto e denso. Teorema de Grobman-Hartman, estabilidade estrutural. Resultados análogos para equações às diferenças.

Variededes estável e instável, existência, invariância sob equivalência topológica. Em campos de vetores estruturalmente estável, as variedades invariantes intersectam-se transversalmente. Enunciado do Teorema de Peixoto.

Ferradura de Smale, dinâmica simbólica, existência de uma infinidade de órbitas periódicas comp períodos arbitrários, exisstência de uma órbita densa.

Bibliografia Obrigatória

Palis Jr. Jacob; Geometric theory of dynamical systems. ISBN: 0-387-90668-1
Arnold Vladimir igorevich; Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. ISBN: 0-387-96649-8 (para o segundo módulo )
Brickell F.; Differentiable manifolds. ISBN: 442-01048-6 (para o primeiro módulo)

Bibliografia Complementar

Carmo Manfredo Perdigão do; Geometria Riemanniana (para o primeiro módulo)
O.Neil Barrett; Semi-Riemannian geometry with applications to relativity. ISBN: 0-12-526740-1 (para o primeiro módulo)
Arrowsmith D. K.; Ordinary differential equations (para o segundo módulo )
Hirsch Morris W.; Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. ISBN: 0-12-349550 (para o segundo módulo )

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria em classe. Resolução pelos alunos, fora de aula, de exercícios propostos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Fórmula de cálculo da classificação final

Média aritmética das classificações nos testes dos dois módulos.