Análise Vectorial

Código:

M219

Sigla:

M219

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2010/2011 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de estudos a partir de 2008	3	-	7,5	-
L:CC	0	Plano de estudos de 2008 até 2013/14	3	-	7,5	-
L:G	0	P.E - estudantes com 1ª matricula anterior a 09/10	3	-	7,5	-
		P.E - estudantes com 1ª matricula em 09/10	3	-	7,5	-
L:M	77	Plano de estudos a partir de 2009	2	-	7,5	-
L:Q	0	Plano de estudos Oficial	3	-	7,5	-

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introduzir, de uma forma concreta, os resultados principais da Análise Clássica de funções de várias variáveis assim como os da Análise Vectorial, enfatizando técnicas específicas desta área assim como suas aplicações.

Programa

1) O Espaço Euclidiano; produto interno, norma e distância usuais. Propriedades básicas.

2) Noção de espaço métrico. Noções e propriedades básicas de: ponto interior, ponto fronteira, ponto de aderência e ponto de acumulação; interior, aderência e fronteira de um conjunto; abertos, fechados e vizinhanças; conjuntos limitados; sucessões convergentes e sucessões de Cauchy, Unicidade do limite; espaços métricos completos; continuidade; espaços compactos, conexos e conexos por arcos.

3) Espaços de funções. Convergência pontual e convergência uniforme. Contracções. Teorema do ponto fixo de Banach. Versão paramétrica deste teorema. Método iterativo de Picard.

4) Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita. Derivação implícita. Generalização do método dos multiplicadores de Lagrange. O espaço tangente num ponto regular de uma superfície de nível visto como o espaço das velocidades das curvas contidas na superfície e que passam pelo ponto dado. Alguns corolários destes teoremas.

5) Curvas de classe c1 por bocados; caminhos em R^n. Integral de uma função escalar ao longo de um caminho; trabalho realizado por um campo de vectores ao longo de um caminho. Campos conservativos e campos de gradientes; relação entre estes dois conceitos e construção de um potencial para um campo conservativo definido num aberto conexo. A condição das derivadas cruzadas. Teorema de Green. Cálculo de áreas recorrendo ao Teorema de Green.

6) Superfícies parametrizadas. Condições de regularidade no domínio das parametrizações e nas parametrizações. Superfícies parametrizadas regulares. Espaço tangente, espaço normal, plano tangente e recta normal; independência destas definições relativamente à parametrização escolhida. Superfícies gráfico e superfícies de revolução. Área de uma superfície parametrizada regular; integral de uma função escalar ao longo de uma superfície parametrizada regular. Orientação de uma superfície parametrizada regular. Fluxo de um campo de vectores ao longo de uma superfície parametrizada e regular.

7) Os operadores rotacional e divergência. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Interpretação do rotacional de um campo de vectores num ponto dado ; interpretação da divergência de um campo de vectores num ponto dado.

8) (Tópico abordado numa aula e que não é considerado na avaliação). Lema de Sperner. Demonstração do Teorema do ponto fixo de Brouwer em dimensão 2. Homeomorfismos e invariantes topológicos. Exemplos.

9) (Tópico abordado numa aula e que não é considerado na avaliação). Integral de Riemann. Volume, volume zero e medida nula. Relações entre estes conceitos. Exemplos. Teorema de Lebesgue (sem demonstração). Corolários. Exemplos.

Bibliografia Obrigatória

Marsden, Tromba; Vector Calculus, W. H. Freeman and Company, 1988. ISBN: 0-7167-1856-1
Marsden, Hoffman; Elementary Classical Analysis, W. H. Freeman and Company, 1993. ISBN: 0-7167-2105-8
Elon Lages Lima; Espaços Métricos, Projecto Euclides, 2003. ISBN: 85-244-0158-3

Bibliografia Complementar

Elon Lages Lima; Curso de Análise vol. 2, Projecto Euclides. ISBN: 85-244-0049-8
Serge Lang; Calculus of Several Variables, Springer, 1987. ISBN: 0-387-96405-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria no quadro. Interligação forte entre as aulas teóricas e as aulas teórico-práticas quer a nível de exercícios e de exemplos quer a nível de resultados teóricos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	70,00
	Total:	-	0,00

Obtenção de frequência

A dispensa do exame final poder ser obtida realizando dois testes escritos.
Cada teste tem a duração de 1h45m e vale 10 ponto. Para obter dispensa de exame, o aluno tem que obter um mínimo de 4,75 pontos em cada uma das provas. A classificação de dispensa é a soma das classificações obtidas nos testes.
O exame final é constituído por duas partes, correspondentes aos testes.
Se um aluno obtiver classificação maior ou igual a 4,75 pontos apenas num dos testes poderá realizar somente a parte do exame relativa ao outro teste.
Um aluno dispensado de exame pode optar por fazer qualquer uma das partes do exame para melhoria de classificação. Neste caso, uma vez entregue o exame, a nota obtida no respectivo teste não será considerada para efeitos de aprovação.
Os testes não são obrigatórios, portanto o aluno pode optar por realizar apenas o exame escrito final, que tem a duração de 3h30m.

A aprovação na época normal, em qualquer uma das modalidades escolhidas, pressupõe uma classificação mínima de 4,75 pontos em cada uma das duas partes da avaliação.


Em qualquer das situações, se o aluno obtiver uma classificação igual ou superior a 17 valores poderá realizar uma prova adicional para defender a nota. Se optar por não a realizar a classificação final será de 17 valores.

Se o aluno não obtiver aprovação na época normal deverá realizar as duas partes do exame de recurso. A classificação final será a obtida no exame de recurso

Observações

Todas as avaliações excepcionais (isto é fora da época normal e da época de recurso) terão uma componente de prova oral.