Probabilidades e Processos Estocásticos

Código:

M509

Sigla:

M509

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2024/2025 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Programa Doutoral em Matemática - Interuniversitário

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
IUD-M	2	PE do Prog Inter-Univ Dout Mat	1	-	9	60	243

Língua de trabalho

Inglês

Objetivos

O principal objetivo do curso é a introdução dos fundamentos da moderna teoria da probabilidade.

O primeiro objetivo é a introdução breve e resumida dos conceitos e resultados fundamentais da teoria de medida e integração para uniformizar a formação dos estudantes.

O curso é estruturado de modo a que os estudantes aprendam ferramentas e conceitos importantes usados com frequência na Teoria das Probabilidades e suas aplicações. Ou seja: a lei 0-1 de Kolmogorov, a representação e imersãoo de Skorokhod,  o teorema de Prokhorov, os princípios de invariância e o teorema de Donsker, só para mencionar alguns.

Além disso, outro objetivo importante é o estudo de processos especiais como o movimento Browniano e martingalas.

Resultados de aprendizagem e competências

Aquisição de conhecimento de tópicos avançados em:
- Teoria da Probabilidade, incluindo a familiarização com  certos conceitos e resultados, como o teorema da existência de Kolmogorov, a representação e imersão de Skorokhod, o  teorema de Prokhorov, princípios de invariância e o teorema de Donsker.
- processos estocásticos, como o movimento Browniano e Martingalas e seu espectro de aplicações.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Programa

Chapter 1: Review of measure theory

Chapter 2: Random variables, independence
2.1 Random variables
2.2 Distribution functions
2.3 Expectation, variance, moments
2.4 Some classical distributions
2.5 Independence
2.6 Infinite product of probability spaces
2.7 Zero-one laws and Borel-Cantelli lemmas

Chapter 3: Laws of large numbers
3.1 Convergence of random variables
3.2 Weak laws of large numbers
3.3 Strong law of large numbers
3.4 Some applications

Chapter 4: Convergence of probability measures
4.1 Measures on metric spaces
4.2 Topology of weak convergence
4.3 Convergence in distribution
4.4 Metrics for weak convergence
4.5 Prohorov's theorem

Chapter 5: The central limit theorem
5.1 Characteristic functions
5.2 Central limit theorem
5.3 Limit theorems in R^d
5.4 Weak convergence in C([0,1])
5.5 Brownian motion and the Donsker's invariance principle

Chapter 6: Conditional expectation and martingales

Bibliografia Obrigatória

Richard Durrett; Probability

Bibliografia Complementar

Kallenberg Olav; Foundations of modern probability. ISBN: 978-1-4419-2949-5
Billingsley Patrick; Convergence of probability measures
Patrick Billingsley; Probability and measure. ISBN: 0-471-00710-2
Kingman J. F. C. (John Frank Charles); Introduction to measure and probability. ISBN: 0-521-05888-0
S. R. S. Varadhan; Probability theory, 2001. ISBN: 0-8218-2852-5
S. R. S. Varadhan; Stochastic processes, 2007. ISBN: 978-0-8218-4085-6
D. W. Stroock; Probability theory, 1993. ISBN: 0-521-43123-9

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas onde os tópicos do programa são apresentados, exercícios e problemas relacionados são discutidos. Os exercícios trabalhados, exemplos e problemas são fundamentais para auxiliar a compreensão dos conceitos e ilustrar o seu potencial de aplicação. Proposta de um projeto de trabalho, a realizar por cada estudante, envolvendo um relatório escrito e posterior apresentação oral e discussão.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Teoria das probabilidades

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	40,00
Trabalho escrito	60,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Apresentação/discussão de um trabalho científico	4,00
Estudo autónomo	183,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Trabalhos práticos/ Projeto submetidos nos prazos fixados.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação compreende duas componentes: projeto (60%) e exame (40%), exigindo-se uma nota mínima de 50%  do valor de cada uma das componentes.

Provas e trabalhos especiais

Trabalho de estágio/projeto

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Melhoria de classificação

Observações