Variedades Diferenciáveis

Código:

M505

Sigla:

M505

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2019/2020 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Programa Doutoral em Matemática - Interuniversitário

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
IUD-M	3	PE do Prog Inter-Univ Dout Mat	1	-	9	60	243

Língua de trabalho

Inglês

Objetivos

To treat the basic theory of differential manifolds.

Resultados de aprendizagem e competências

The student should acquire a thorough knowledge of the theory of differential manifolds and be able to use its tools in mathematical problem solving and research.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Elements of general topology. Calculus of functions of several variables. Basic algebra.

Programa

Elements of general topology (revision): topological spaces, connectedness, compactness, quotient spaces. Differentiable manifolds, differentiable maps. Inverse images of regular values. Transversality. Sard's Theorem. Fiber bundles, tangent and cotangent bundles of a manifold. Vector fields and flows.The Lie bracket of vector fields. Lie groups and Lie algebras. Differential forms, exterior derivative. Integration on manifolds. Stokes' theorem. Elements of homological algebra; de Rham cohomology. The Poincaré Lemma. Homotopy and homotopy invariance of de Rham cohomology. Euler characteristic. The Mayer-Vietoris sequence. Degree of a map. The index of a vector field with isolated singularities and the Poincaré-Hopf Theorem. Some additional topics may be treated.

Bibliografia Obrigatória

Barden, D. and Thomas, C.; An introduction to differential manifolds, Imperial College Press, 2003
Jaques Lafontaine; An Introduction to Differential Manifolds, Springer, 2015

Bibliografia Complementar

Ib Madsen; From calculus to cohomology. ISBN: 0-521-58956-8
Raoult Bott; Differential forms in algebraic topology. ISBN: 0-387-90613-4
Tu, L.W.; An Introduction to Manifolds, Springer, 2008
Fulton, W.; Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1997
Sutherland, W.A. ; Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford University Press, 1975

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Lectures, problem sessions, student presentations.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Geometria

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	187,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Attendance is not compulsory.

Fórmula de cálculo da classificação final

The final mark is the mark obtained in the exam.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

By written and/or oral exam.