Análise Matemática 3

Código:

EC0011

Sigla:

AMAT3

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2019/2020 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.up.pt
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEC	159	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	2	-	5,5	60	145

Língua de trabalho

Português e inglês

Objetivos

OBJETIVOS:
Estimular e motivar o estudante para a abordagem de problemas práticos modelados por equações diferenciais. Motivar o estudante para um conjunto de técnicas analíticas, numéricas e qualitativas, fundamentais para o estudo do comportamento de fenómenos e problemas de engenharia, modelados por equações diferenciais.

 

Resultados de aprendizagem e competências

COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER: Conhecimentos técnicos em ciências fundamentais (equações diferenciais); saber aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas em situações novas e não familiares, em contextos alargados e multidisciplinares; ter capacidade para integrar conhecimentos, lidar com questões complexas, desenvolver soluções ou emitir juízos em situações de informação limitada ou incompleta; desenvolver competências de aprendizagem que permitam uma aprendizagem ao longo da vida, de um modo fundamentalmente auto-orientado ou autónomo; Ser capaz de comunicar as suas conclusões e os seus conhecimentos e raciocínios a elas subjacentes, quer a especialistas, quer a não especialistas, de uma forma clara sem ambiguidades.

RESULTADOS ESPERADOS: Os estudantes devem ser capazes de: Identificar e resolver equações diferenciais de primeira ordem; Fazer o estudo qualitativo das equações autónomas de primeira ordem; Resolver equações diferenciais lineares homogéneas e não homogéneas com coeficientes constantes de ordem superior; Resolver sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem; Fazer o estudo qualitativo dos sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem; Analisar o comportamento das soluções de um sistema de equações diferenciais não lineares de primeira ordem em torno de um ponto de equilíbrio.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

CONHECIMENTOS PRÉVIOS: O aluno deverá possuir os conhecimentos básicos das UCs de Álgebra, Análise Matemática 1 e 2.

Programa

1. Equações Diferenciais [10%]
1.1 Modelação Matemática e Equações Diferenciais
1.2 Soluções, Solução Geral e Solução Particular
1.3 Campo de Direções e Gráfico de Soluções. Soluções Numéricas.

2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem [30%]
2.1 Existência e Unicidade da solução de um problema de valor inicial
2.2 Equações de Variáveis Separáveis
2.3 Equações de Primeira Ordem Lineares
2.4 Método da Substituição e Equações Exatas.
2.5 Introdução à Teoria Qualitativa das equações diferenciais 
2.6 Modelos de velocidade; Trajetórias Ortogonais.

3. Equações Diferenciais de Ordem Elevada [30%]
3.1 Solução Geral de Equações Lineares
3.2 Equações Lineares Homogéneas
3.3 Equações Lineares Homogéneas com Coeficientes constantes
3.4 Equações Lineares não Homogéneas
3.5 Vibrações mecânicas; Oscilações Forçadas e Ressonância

4. Sistemas de Equações Diferenciais de 1ª ordem [15%]
4.1 Sistemas de Primeira Ordem e Aplicações
4.2 Matrizes e sistemas Lineares
4.3 Método dos Valores Próprios e Sistemas Lineares
4.4 Análise Qualitativa: Pontos de Equilíbrio, Estabilidade e Plano de Fase; Retrato de Fase

5 Sistemas não lineares. [10%]
5.1 Pontos de Equilíbrio.
5.2Linearização de sistemas não-lineares em torno de um ponto de equilíbrio. Retrato de Fase.
5.3 Sistemas Conservativos e sistemas Hamiltonianos.

6. Transformadas de Laplace [5%]
6.1 Definição e propriedades. Função de Heaviside e Delta de Dirac.
6.2 Resolução de Problemas de Valor Inicial.


Conteúdo Científico 80%
Conteúdo Tecnológico 20%

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:
Esta é uma unidade curricular essencialmente formativa, que coordena os conhecimentos teóricos fundamentais ao estudo de equações diferenciais com aplicação em vários fenómenos e problemas de engenharia. O conteúdo programático complementa a aprendizagem obtida nas unidades curriculares de Análise Matemática 1 e Análise Matemática 2.

Bibliografia Obrigatória

Maria do Carmo Coimbra; Equações diferenciais: uma primeira abordagem, 2017. ISBN: 978-989-98632-8-6
Charles Henry Edwards; Differential Equations. ISBN: 0-13-067337-4

Bibliografia Complementar

George F. Simmons, Steven G. Krantz ; trad. Helena Maria de Ávila Castro; Equações diferenciais. ISBN: 978-85-86804-64-9
Stewart, James 1908-1997; Cálculo. ISBN: 85-211-0484-0
Adkins, William, Davidson, Mark G. ; Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag New York, 2012. ISBN: 978-1-4614-3618-8 (Access to this content is enabled by Universidade do Porto)

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Unidade curricular essencialmente formativa, com especial atenção à formulação matemática de problemas de engenharia. Coordenação dos conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas cadeiras que se seguem no plano de estudos. As aulas de exposição teórica consistem em exposições orais onde a dedução e abstração é considerada fundamental. Nas aulas teóricas é dada ênfase à exposição de conceitos, princípios e teorias, fazendo uso frequente de exemplos de natureza física e geométrica. Nas aulas práticas é proposto um conjunto de exercícios a ser resolvido em pequenos grupos com a supervisão do docente. A UC de Análise Matemática 3 é complementada com uma página Moodle onde, para além de todo o material pedagógico de apoio, são disponibilizados testes de autoavaliação on-line para possibilitar a aferição do ensino/aprendizagem. É incentivado o uso de software (Matlab and Maxima) e máquinas de calcular como instrumentos auxiliares de trabalho.

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:
Privilegia-se a coordenação entre os conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas unidades curriculares que se seguem no plano de estudos, sendo fomentado o entendimento intuitivo dos conceitos e a capacidade de cálculo. Pretende-se desenvolver os conhecimentos técnicos no cálculo de equações diferenciais, saber aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas em situações novas, em contextos alargados e multidisciplinares, ter capacidade para integrar conhecimentos.

Software

Matlab
Maxima

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	90,00
Trabalho prático ou de projeto	10,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	39,00
Frequência das aulas	52,00
Total:	91,00

Obtenção de frequência

A obtenção de classificação final exige o cumprimento de assiduidade à unidade curricular, conforme estabelecido nas regras de avaliação do MIEC. Considera‐se que um estudante cumpre a assiduidade a uma unidade curricular se, tendo estado regularmente inscrito, não exceder o número limite de faltas correspondente a 25% de cada um dos tipos de aulas previstos.

Fórmula de cálculo da classificação final

Dois mini-testes, MAD1 e MAD2, e 3 atividades Moodle.

Todas as componentes de avaliação são expressas na escala de 0 a 20 valores.

A classificação final (CF) é definida por:

CF = 0.4*CAD1 +0.5*CAD2+0.1MDL

CAD1– classificação da 1ª prova de avaliação distribuída (MAD1);
CAD2 – classificação da 2ª prova de avaliação distribuída (MAD2);
MDL-classificação obtida em 3 atividades Moodle avaliadas na seguinte escala:

• 100% (20 valores) se foram realizadas no prazo estabelecido as 3 atividades com nota positiva.
• 75% (15 valores) se foram realizadas no prazo estabelecido as 3 atividades e 2 das atividades com nota positiva.
• 50% (10 valores) se foram realizadas no prazo estabelecido as 3 atividades e 1 das atividades com nota positiva.
• 0% nos outros casos.

Os alunos com frequência não aprovados na época normal têm acesso ao exame de recurso.

A avaliação distribuída obtida em anos anteriores não é válida.


NOTA: Todos os estudantes inscritos na unidade curricular são classificados de acordo com este método.


No exame de recurso, os estudantes com frequência, podem optar pela avaliação sobre uma parte da matéria (CAD1 ou CAD2), mantendo a classificação da outra parte e a nota MDL das atividades Moodle, ou sobre toda a matéria realizando um exame global (Exame Final).

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Realização de exame final.

Melhoria de classificação

Os estudantes que tenham sido aprovados à unidade curricular e pretendam melhorar a sua classificação, CF, podem requerer acesso ao exame de recurso, optando pela avaliação sobre uma parte da matéria (CAD1 ou CAD2), mantendo a classificação da outra parte, ou sobre toda a matéria (Exame Final).

Observações

Tempo médio estimado de trabalho semanal fora das aulas: 3 horas