Teoria dos Métodos Geofísicos

Código:

MEMG0006

Sigla:

TMG

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática, Física, Ciências da Terra

Ocorrência: 2010/2011 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.fe.up.pt
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia de Minas
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Engenharia de Minas e Geo-Ambiente

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MEMG	9	Plano de estudos oficial a partir de 2008/09	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Familiarizar o estudante com a Transformada de Fourier, apoiada pelo desenvolvimento prévio da teoria das distribuições temperadas. Ilustrar a teoria com aplicações no âmbito da engenharia de minas e geoambiente, designadamente na geofísica. Aplicar a teoria desenvolvida ao tratamento de sinal na geofísica, nomeadamente em sísmica e em gravimetria, bem como a séries temporais como, por exemplo, a dados climáticos, registos sísmicos, etc...
Pretende-se que este núcleo de conhecimentos fique bem sedimentado, permitindo futuros aprofundamentos, caso a prática profissional assim o exija.

Programa

Conceito de distribuição. Exemplos de aplicações do conceito. Propriedades das distribuições. A distribuição como função generalizada.
Propriedades das distribuições temperadas.

Convolução. Identificação de uma distribuição com uma função num intervalo.
Identidade de duas distribuições num intervalo. Distribuição de suporte limitado.
Derivada de uma distribuição. Distribuição par e ímpar. Integral de uma distribuição.
Propriedades da distribuição de Dirac.
Limites de distribuições. Distribuições como limites de funções.
Exemplo recorrendo ao pedestal. Idem recorrendo à função de Gauss.
As grandezas físicas como distribuições - resposta impulsional.
Convolução: definição, propriedade comutativa, associativa, etc¿
A translação como convolução. A derivação como convolução.
A integração como convolução. Translação de uma convolução.
Convolução Numérica. Transformada em Z. Desconvolução.

Transformada de Fourier. Definição. Relação de Euler. Propriedades da cissóide. Apresentação da transformada de Fourier. Teorema de Fourier (fórmula de inversão). Transformada do seno e do cosseno. Representação da transformada em módulo e fase. Demonstração do Teorema de Fourier.
Questões de existência. Integral de Fourier de uma função real. Idem de uma função imaginária pura. Idem de uma função real e par. Idem de uma função real e ímpar.
Idem de uma função real qualquer. Idem de uma função hermitiana. Idem de uma função causal - interdependência da parte real e imaginária do espectro. Significado físico da transformada de Fourier: espectro. Espectro de amplitude, espectro de fase, densidade espectral, propriedades do operador de Fourier. Definições alternativas.
Propriedades elementares dos espectros:
Linearidade, simetria, translação, modulação, escala, derivação, integração.
Espectros de algumas funções e distribuições interessantes: espectro da distribuição de Dirac, da sinusoide, do degrau de heaviside, do pedestal, do seno cardinal, do triângulo, do pente de amostragem.
Teorema da convolução. Teorema de Parseval ou teorema da energia.
Teorema de Rayleigh. Teorema de Carleman. Transformada do integral indefinido.
Teorema dos momentos. Momento de 1ª ordem, centroide, momento de inércia, abcissa quadrática média, variância, momento de ordem n.
Relações entre compressão do sinal e expansão do espectro.
Momentos do espectro. Teorema de Bernstein-Boas.
Largura equivalente. Teorema de Sommerfeld. Autoconvolução. Largura de autocorrelação. Largura quadrática. Teorema de Heisenberg ou princípio da incerteza.
Funções e espectros de suporte limitado. Lisura. Fenómeno de Gibbs. Funções periódicas e série de Fourier. Teorema de Shannon e de Kotielnikov. Teorema de Gabor. Espectro corrente e instantâneo, densidade espectral.
Sistemas de constantes concentradas. Método cibernético de Wiener para abordagem da teoria dos sistemas. Sistema linear invariante no tempo. Resposta impulsional. Teorema de Vaschy. Resposta harmónica. Função de passagem. Desenho de filtros.
Significado espectral da linearidade. Significado espectral da causalidade. Relações de Kramers-Kronig. Transformada de Hilbert. Atrasos de fase, de grupo e de frente.
Os sistema lineares como dispositivos de medida: sistema proporcional, sistema derivador, sistema integrador. Detecção de movimentos sísmicos.
Equações diferenciais do sismógrafo; sua leitura em termos de função de passagem do sistema. Sensibilidade ao deslocamento, à velocidade e à aceleração.
Distribuições multivariável e campos. Distribuições multidimensionais: da família das distribuições de Dirac; convolução de distribuições; derivação; fórmula de divergência; fórmula de gradiente; teorema de Green.
Interpretação directa em gravimetria. Teorema do estrato equivalente. Teorema do prolongamento. Interpretação directa por prolongamento descendente. Problema da síntese de filtros.

Bibliografia Obrigatória

Papoulis, Athanasios; The Fourier integral and its applications. ISBN: 07-048447-3
Karl, John H.; An introduction to digital signal processing. ISBN: 0-12-398420-3
Novais Madureira - Abilio Cavalheiro; Teoria dos Métodos Geofísicos, 2008

Bibliografia Complementar

Bracewell, Ronald N.; The Fourier transform and its applications. ISBN: 0-07-007013-X

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

A disciplina tem um carácter iminentemente teórico. Os exemplos teórico-práticos tratados destinam-se a consolidar os conhecimentos teóricos adquiridos. Além deste objectivo, os exemplos teórico-práticos permitem evidenciar as constrições impostas pela amostragem discreta e num intervalo pequeno (não infinitesimal) dos exemplos numéricos, contraposta à amostragem contínua de menos infinito a mais infinito, com passo infinitesimal, correspondente à formulação analítica. Na fase mais avançada da disciplina, todo o corpo da teoria conflui na compreensão das metodologias de amostragem e de tratamento de sinal bem como na capacidade de síntese evidenciada pela função de passagem como descritora do comportamento de sistemas lineares com a vantagem de poder ser interpretada fisicamente.

Software

Matlab 6

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	56,00
	Total:	-	0,00

Obtenção de frequência

Não exceder o número de faltas previsto nas Normas Gerais de Avaliação da FEUP e ter classificação na avaliação distribuída igual ou superior a seis valores.

A avaliação durante o semestre inclui: testes, trabalhos e desempenho.
A nota da frequência é obtida através da média pesada usando os pesos a seguir indicados.


Os trabalhos práticos realizados pelos alunos normais, assim como os testes de frequência, são também necessários para alunos TE, DA,...,

Nota da frequência:
70% a 75% para os dois ou três testes de avaliação durante o semestre,
25% a 30% para trabalhos e desempenho.

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final será a da avaliação distribuída. Para os casos de melhoria de classificação será realizada uma prova de recurso a que só pode aceder quem tenha obtido frequência.

Provas e trabalhos especiais

Não previstos

Avaliação especial (TE, DA, ...)

De acordo com o previsto nas Normas Gerais de Avaliação.

Melhoria de classificação

Exame de recurso.