Análise Matemática 3

Código:

EC0011

Sigla:

AMAT3

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2011/2012 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEC	345	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	2	-	5,5	60	145

Língua de trabalho

Português

Objetivos

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Estimular e motivar o estudante para a abordagem de problemas práticos modelados por equações diferenciais. Motivar o estudante para um conjunto de técnicas analíticas, numéricas e qualitativas, fundamentais para o estudo do comportamento de fenómenos e problemas de engenharia, modelados por equações diferenciais.

COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER DESCRITAS NO CDIO:
Conhecimentos técnicos em ciências fundamentais (equações diferenciais); saber aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas em situações novas e não familiares, em contextos alargados e multidisciplinares, ter capacidade para integrar conhecimentos, lidar com questões complexas, desenvolver soluções ou emitir juízos em situações de informação limitada ou incompleta; desenvolver competências de aprendizagem que permitam uma aprendizagem ao longo da vida, de um modo fundamentalmente auto-orientado ou autónomo; Ser capaz de comunicar as suas conclusões e os seus conhecimentos e raciocínios a elas subjacentes, quer a especialistas, quer a não especialistas, de uma forma clara sem ambiguidades.

RESULTADOS ESPERADOS:
No fim do período letivo os estudantes devem ser capazes de:
1- Identificar e resolver equações diferenciais de primeira ordem;
2- Fazer o estudo qualitativo das equações autónomas de primeira ordem;
3- Resolver equações diferenciais lineares homogéneas e não homogéneas com coeficientes constantes de ordem superior;
4- Resolver sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem;
5- Fazer o estudo qualitativo dos sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem;
6- Analisar o comportamento das soluções de um sistema de equações diferenciais não lineares de primeira ordem em torno de um ponto de equilíbrio.

Programa

1. Equações Diferenciais de Primeira Ordem [40%]
1.1 Modelação Matemática e Equações Diferenciais
1.2 Soluções, Solução Geral e Solução Particular
1.4 Existência e Unicidade da solução de um problema de valor inicial
1.3 Introdução à Teoria Qualitativa das equações diferenciais
1.5 Campo de Direções e Gráfico de Soluções
1.6 Equações de Variáveis Separáveis
1.7 Equações de Primeira Ordem Lineares
1.8 Método da Substituição e Equações Exatas
1.9. Modelos Matemáticos e Métodos Numéricos: Método de Euler e Métodos de Runge-Kutta

2. Equações Diferenciais de Ordem Elevada [30%]
2.1 Solução Geral de Equações Lineares
2.2 Equações Lineares Homogéneas
2.3 Equações Lineares Homogéneas com Coeficientes constantes
2.4 Vibrações mecânicas
2.5 Equações Lineares não Homogéneas
2.6 Oscilações Forçadas e Ressonância

3. Sistemas de Equações Diferenciais [15%]
3.1 Sistemas de Primeira Ordem e Aplicações
3.2 Matrizes e sistemas Lineares
3.3 Método dos Valores Próprios e Sistemas Lineares

4. Introdução à Teoria Qualitativa dos Sistemas de Equações Diferenciais Bidimensionais [15%]
4.1 Pontos de Equilíbrio, Estabilidade e Plano de Fase
4.2 Sistemas Lineares e Sistemas Quase-Lineares
4.3 Linearização em torno de um ponto de equilíbrio

Conteúdo Científico 80%
Conteúdo Tecnológico 20%

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:

Esta é uma unidade curricular essencialmente formativa, que coordena os conhecimentos teóricos fundamentais ao estudo de equações diferenciais com aplicação em vários fenómenos e problemas de engenharia. O conteúdo programático complementa a aprendizagem obtida nas unidades curriculares de Análise Matemática 1 e Análise Matemática 2.

Bibliografia Obrigatória

Maria do Carmo Coimbra; Equações diferenciais: uma primeira abordagem, 2009 (disponível nos Conteúdos da página da disciplina do SIFEUP)
C. Henry Edwards, David E. Penney; Differential Equations and Boundary Value Problems. Computing and modeling

Bibliografia Complementar

Colecção de exercícios, AM3, MIEC, 2009 (disponível nos Conteúdos da página da disciplina do SIFEUP)
George F. Simmons, Steven G. Krantz ; trad. Helena Maria de Ávila Castro; Equações diferenciais. ISBN: 978-85-86804-64-9
Figueiredo, Djairo; Neves, Aloisio; Equações Diferenciais Aplicadas, IMPA, 2002. ISBN: 85-7028-014-9
Stewart, James 1908-1997; Cálculo. ISBN: 85-211-0484-0

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Unidade curricular essencialmente formativa, com especial atenção à formulação matemática de problemas de engenharia. Coordenação dos conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas cadeiras que se seguem no plano de estudos. As aulas de exposição teórica consistem em exposições orais onde a dedução e abstração é considerada fundamental. Nas aulas teóricas é dada ênfase à exposição de conceitos, princípios e teorias, fazendo uso frequente de exemplos de natureza física e geométrica. Nas aulas práticas é proposto um conjunto de exercícios a ser resolvido em pequenos grupos com a supervisão do docente. A UC de Análise Matemática 3 é complementada com uma página Moodle onde, para além de todo o material pedagógico de apoio, são disponibilizados testes de autoavaliação on-line para possibilitar a aferição do ensino/aprendizagem. É incentivado o uso de software (Maxima) e máquinas de calcular como instrumentos auxiliares de trabalho.

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:

Privilegia-se a coordenação entre os conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas unidades curriculares que se seguem no plano de estudos, sendo fomentado o entendimento intuitivo dos conceitos e a capacidade de cálculo. Pretende-se desenvolver os conhecimentos técnicos no cálculo de equações diferenciais, saber aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas em situações novas, em contextos alargados e multidisciplinares, ter capacidade para integrar conhecimentos.

Software

Maxima

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	52,00
Realização de Exercícios Práticos para avaliação	Teste	4,00		2011-12-16
Exames	Exame	6,00		2012-02-10
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Estudo individual para acompanhamento das aulas	Estudo autónomo	36	2011-12-16
Dúvidas com docentes da UC	Estudo autónomo	20	2012-02-10
Estudo para exame	Estudo autónomo	27	2012-02-10
	Total:	83,00

Obtenção de frequência

O nº limite de faltas permitido é fixado pelo Artigo 4ª-nº 1 (25% do nº de aulas práticas previstas).

Fórmula de cálculo da classificação final

E: resultado do exame final escrito
P: nota dos trabalhos realizados nas aulas práticas e/ou teóricas. Esta nota só é atribuída aos estudante que realizem a totalidade dos trabalhos propostos.

Classificação final = max { E, 0.8 E + 0.2 P}

Provas e trabalhos especiais

não previsto

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Realização de Prova Escrita.

REGRAS ESPECIAIS PARA ESTUDANTES EM MOBILIDADE: Domínio da Língua Portuguesa; Frequência de disciplinas de graduação introdutórias à temática científica versada na presente disciplina; Avaliação através de exame e/ou trabalho(s) especialmente definidos em face do perfil do estudante.

Melhoria de classificação

Realização de Prova Escrita.

Observações

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
O aluno deverá possuir os conhecimentos básicos às UCs de Álgebra, Análise Matemática 1 e 2.


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Tempo médio estimado de trabalho semanal fora das aulas: 3 horas