Análise Matemática 1

Código:

EC0001

Sigla:

AMAT1

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2011/2012 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEC	319	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	75	187

Língua de trabalho

Português

Objetivos

OBJETIVOS:
Compreensão, manipulação e aplicação dos conceitos de integração de funções reais de variável real e de série. Fornecer um conjunto base de conhecimentos matemáticos necessários ao bom funcionamento das outras unidades curriculares do curso. Desenvolver o raciocínio científico-matemático e a capacidade de abertura à aplicação dos conceitos matemáticos.

COMPETÊNCIAS ESPERADAS:
No fim do período letivo os estudantes devem, em cada uma das vertentes seguintes, ser capazes de:
Conhecimento: Descrever os principais resultados na área de formação de base da análise matemática, nomeadamente no domínio do cálculo diferencial e integral, das séries numéricas e da aproximação polinomial de funções reais de variável real por recurso a Polinómios de Taylor. Identificar as técnicas a usar na resolução de problemas
Compreensão: Construir uma atitude e um pensamento adequados à resolução de problemas de Engenharia
Aplicação: Desenvolver uma base sólida de formação para disciplinas posteriores, que permita a correta utilização das técnicas e a formulação rigorosa dos problemas

Programa

1. Cálculo diferencial de funções reais de variável real:
1.1. Metodologia da matemática, fundamentos de lógica matemática, axiomática dos números reais, breves noções topológicas. Teorema de Bolzano-Weierstrass
1.2. Funções trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas
1.3 Funções reais de variável real: limites e continuidade. Teoremas dos valores intermédios e de Weierstrass
1.4. Cálculo diferencial de funções de uma variável: definições e interpretação geométrica. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Derivada da função inversa e composta. Regras práticas e aplicações da derivação.
2. Cálculo integral de funções reais de variável real:
2.1. Integral de Riemann, operações com integrais, integrais indefinidos. Teorema fundamental do cálculo, fórmula de Barrow e teorema do valor médio
2.2. Integração de funções racionais. Integração por partes e integração por substituição
2.3. Integrais impróprios
2.4. Cálculo de áreas no plano.
3. Sucessões e séries numéricas:
3.1. Sucessão de Cauchy, análise de convergência e soma de uma série, convergência simples e convergência absoluta
3.2.Séries de termos positivos: critérios de comparação, d' Alembert, de Cauchy e do integral
3.3. Séries de termos alternados: critério de Leibniz
4. Sucessões e séries de funções:
4.1. Convergência pontual e convergência uniforme
4.2. Séries de potências: raio e intervalo de convergência
4.3. Aproximação polinomial: Polinómio e Série de Taylor.

DISTRIBUIÇÃO:
A distribuição estimada percentual do conteúdo programático está de acordo com a tabela seguinte:

Ponto do Programa % estimada
1 25
2 40
3 20
4 15

Conteúdo Científico – 100%

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:

Esta unidade curricular integra o grupo de unidades curriculares da área científica de Matemática, centrando-se sobretudo em fornecer aos estudantes uma formação sólida nos conceitos e no cálculo de integração de funções reais de variável real e de séries numéricas e de funções. O conteúdo programático inclui o cálculo diferencial, o cálculo integral, sucessões e séries numéricas e séries de funções. Estas matérias são a base do cálculo matemático, sendo apresentados nas aulas os conceitos e os resultados recorrendo a exemplos elucidativos com recurso eventual a software apropriado.

Bibliografia Obrigatória

Apostol, Tom M.; Calculus
Stewart, James; Cálculo, Thompson. ISBN: 85-221-0479-4 (5.ª edição (vol.1))
James Stewart; Cálculo. ISBN: 85-221-0236-8 (vol. 2)
Apontamentos e colectânea de exercícios de apoio às aulas, disponível na opção Conteúdos da página SIFEUP da UC

Bibliografia Complementar

M. Spivac; Calculus, Volumes 1 e 2, Addison Wesley
Alves de Sá, Ana e Louro, Bento; Sucessões e Séries, Teoria e prática, Escolar Editora, 2009
Larson, Hostetler & Edwards; Cálculo, Volumes 1 e 2 (Oitava Edição), McGraw-Hill, 2006. ISBN: 85-86804-56-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Nas aulas (teórico-práticas) são apresentados os conceitos e resultados, recorrendo à interpretação geométrica (quando possível) e a exemplos elucidativos. Algumas demonstrações construtivas são apresentadas. Forte apelo ao entendimento dos conceitos e à capacidade de cálculo. Ao longo da unidade curricular os estudantes são alertados para as ferramentas computacionais disponíveis, suas capacidades e limitações. Nas aulas são realizadas algumas demonstrações de utilização de software adequado e o estudante é encaminhado na resolução de problemas selecionados.

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:

A apresentação dos conceitos e dos resultados recorrendo à interpretação geométrica e a exemplos elucidativos pretende desenvolver o raciocínio científico-matemático e a capacidade de abertura à aplicação dos conceitos matemáticos. Desta forma constrói-se uma atitude e um pensamento adequados à resolução de problemas de Engenharia e desenvolve-se uma base sólida de formação para unidades curriculares posteriores, que permita a correta utilização das técnicas e a formulação rigorosa dos problemas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	42,50
	Total:	-	0,00

Obtenção de frequência

As aulas, exclusivamente teórico-práticas, são obrigatórias. As condições para a obtenção de frequência são as expressas no artigo 7º nº 2 das Normas Gerais de Avaliação da FEUP (não exceder o número limite de faltas correspondente a 25% das aulas previstas).

Fórmula de cálculo da classificação final

Componentes da avaliação:
• Dois mini-testes (M1 e M2)
• Dois exercícios práticos, realizados nas aulas antes do 1º mini-teste (EP1_2).

A classificação final (CF) é determinada de acordo com o seguinte: (as classificações de todas as componentes de avaliação são expressas na escala 0 a 20).

EP1_2 – resultado dos 2 exercícios efectuados antes do 1º teste.
M1 – resultado do 1.º momento de avaliação.
M1= 0,2Max{EP1_2, Grupo I de M1}+0,8(Grupo II de M1). (*)

M2 – resultado do 2.º momento de avaliação. (**)

CF = 0,5M1+0,5M2

Os estudantes que, tendo frequência, não obtiverem aprovação à unidade curricular têm acesso ao exame de recurso para esse efeito, podendo optar por ser avaliados apenas sobre a matéria respeitante a um dos mini-testes (1.º ou 2.º - prova de 1h30m) ou à globalidade da matéria (prova de 3 horas). O cálculo da classificação final é feito de acordo com as fórmulas (*) e (**), substituindo M1 e M2 (ambos ou um só) pelos resultados obtidos no recurso.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

REGRAS ESPECIAIS PARA ESTUDANTES EM MOBILIDADE: Domínio da Língua Portuguesa; Frequência de disciplinas de ensino secundário que servem de base à presente unidade curricular; Avaliação através de componentes de avaliação à semelhança dos alunos ordinários.

Melhoria de classificação

Nos termos do Artigo 10º das Normas Gerais de Avaliação.
Os estudantes que, tendo obtido aprovação à unidade curricular, pretenderem melhorar a classificação, podem fazê-lo no exame de recurso previsto para a mesma, podendo optar por ser avaliados apenas sobre a matéria respeitante a um dos mini-testes (1.º ou 2.º - prova de 1h30m) ou à globalidade da matéria (prova de 3 horas).

Observações

Tempo de trabalho semanal estimado fora das aulas: 5 horas.

Nas várias componentes de avaliação não é permitida a utilização de qualquer tipo de máquina de calcular.

A fraude na realização de uma prova - em qualquer das modalidades - implica a anulação da mesma (Artigo 13.º das Normas Gerais de Avaliação).

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
O estudante deverá ter conhecimentos básicos sobre funções reais a uma variável real, derivação, polinómios e lógica.