Métodos Numéricos

Código:

EA0017

Sigla:

MN

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Capacid. e atit. pessoais, interp. e profissionais
OFICIAL	Ciências Básicas

Ocorrência: 2008/2009 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.fe.up.pt/course/view.php?id=776
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia de Minas
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEA	65	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	2	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

No final da disciplina os alunos devem ser capazes autonomamente de:
• Compreender e lidar com: problemas de precisão e erro; Medida do erro e sua propagação; Instabilidades numéricas intrínsecas;
• Resolver todos os problemas triviais de cálculo numérico relativos a cada um dos itens abordados na disciplina;
• Abordar com capacidade crítica todos as singularidades e instabilidades numéricas que tenham que ultrapassar;
• Adequar o método numérico escolhido ao problema a resolver;
• Resolver problemas de convergência e de paragem de algoritmos
• Analisar o comportamento dos algoritmos e sua ligação com o modo como o problema de índole física foi formulado
• E adicionalmente de:
o Programar estruturadamente;
o Utilizar a folha de cálculo para cálculo científico, numa abordagem numérica;
o Utilizar manipuladores algébricos;
o Programar numa linguagem de alto nível;
o Utilizar, com capacidade crítica as rotinas numéricas publicadas

Programa

1. Introdução
a. Diagnóstico
b. “Refresher” de Álgebra Linear incluindo Introdução à utilização do MatLab e da programação simbólica
c. Avaliação diagnóstico
2. Raízes de Equações transcendentais: Bissecções sucessivas; Método da secante; Método de Newton; Método do ponto fixo como curiosidade histórica e suas aberrações; Método de Muller; Velocidades e convergências – verificação e seu significado.
3. Sistemas de equações lineares: Decomposição de Gauss, com substituição ascendente e Gauss-Jordan. Pivotagem e a sua necessidade. Factorização LU nas suas diversas variantes; Métodos iterativos.
4. Representação em vírgula flutuante:
a. Erros numéricos; sua propagação e consequências. Regras de boa prática.
b. Número condição de matriz e instabilidade numérica; Erro intrínseco. Importância do controlo da condição; seu significado físico e estatístico.
c. Cálculo numérico de funções: Aproximação e minimização do erro: Propagação do erro aplicada aos diferentes métodos ilustrados anteriormente.
5. Relatório Intercalar 1
6. Métodos estáveis de factorização matricial:
a. Factorização LU: Factorização a partir da rotina de Gauss, com e sem pivotagem; Factorização LU directa. Estratégias de condicionamento.
b. Determinação dos valores próprios e vectores próprios de uma matriz - factorização QR; algoritmo de Francis e rotina de Householder. Análise de sensibilidade e seu significado.
7. Interpolação: Tabelas às diferenças; interpolação polinomial; utilização de splines; Dificuldades e inutilidades.
8. Aproximação funcional: mínimos quadrados; mínimos quadrados contínuos; aproximações de Taylor e de Padé.; Métodos de Fourier; FFT e as suas aplicações.
9. Zeros de funções: O problema específico da resolução de polinómios - estratégia e táctica de ataque do problema; polinómios com comportamentos patológicos
10. Relatório Intercalar 2
11. Solução numérica de equações diferenciais ordinárias e integração numérica:
a. Métodos clássicos e o problema da extrapolação: Expansão de Taylor; Euler e Runge-Kutta.
b. Euler modificado como introdução aos métodos Preditor-Corrector:
c. Métodos Multi-Step, e métodos Preditor-Corrector; Majoração do erro; Critérios de convergência, erros e sua propagação
12. Diferenciação e quadratura
a. O problema da diferenciação numérica. Estratégias de ultrapassagem
b. Integração numérica: Regra dos Trapézios e Regra de Simpson, Quadratura Gaussiana; Critérios de aderência. Cálculo de integrais impróprios. Integrais múltiplos. Singularidades. Outros métodos de quadratura
13. Relatório intercalar 3
14. Equações diferenciais ordinárias com condições de contorno: métodos heurísticos; métodos às diferenças finitas. Equações às derivadas parciais: parabólicas, hiperbólicas e elípticas.
15. Introdução à optimização linear: e à optimização não-linear: Utilização de métodos heurísticos para a resolução de problemas multivariados simples: Método de Powell; Polítopo; Fraquezas dos métodos heurísticos.
16. Apresentação de um algoritmo de um método quase-Newton para ilustração final de problemas de: condição de matriz, passo de pesquisa, controlo de erro numérico, controlo das condições de paragem. Análise de sensibilidade.
17. Verificação final

Bibliografia Obrigatória

Madureira, C.; Soeiro de Carvalho, J.; Vila, C. ; Análise Numérica (Texto de apoio à disciplina)

Bibliografia Complementar

Conte, S. D.; Elementary numerical analysis. ISBN: 0-07-012447-7
Leader, J.J.; Numerical analysis and scientific computation, Pearson - Addison Wesley, 2004. ISBN: 0-321-22335-7
Fernandes, E.M.; Computação Numérica, Universidade do Minho, 1998. ISBN: 972-96944-1-9
Chapra, Steven C.; Numerical Methods for Engineers. ISBN: 0-07-079984-9
Cheney, Ward; Numerical mathematics and computing. ISBN: 0-534-38993-7

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

1. A cadeira é leccionada sempre com recurso a meios informáticos, de modo tutorial e sem qualquer distinção entre aulas práticas e aulas teóricas.
Cada um dos métodos apresentados é implementado em folha de cálculo e, numa segunda fase, requer-se que o aluno faça a sua implementação em fluxograma e numa linguagem de programação.
2. As aulas contêm de exposição o estritamente indispensável, dedicando-se cerca de 80 a 85% do tempo a trabalho com apoio tutorial.
Não é dada qualquer ênfase à prova matemática, mas os métodos são quase sempre ensinados com recurso a técnicas geométricas e mesmo heurística.
3. O estudante utiliza os métodos apresentados obtendo uma sensação de capacidade de resolução de problemas práticos que parece não ser possível nas cadeiras anteriores de Análise Matemática. Então é colocado perante um problema em que o método ensinado falha: aparece uma singularidade, diminui a precisão, ocorre uma instabilidade. Nesse momento e nunca antes, o aluno está interessado e com capacidades para mergulhar na estrutura mais profunda do método numérico, porque se convence que desse modo pode chegar à solução do problema que lhe foi posto.
4. Então é feita a ligação entre a matéria correlata dada nas cadeiras de Análise Matemática e Álgebra Linear e o método numérico que ele está a utilizar. Nesse momento, e apenas nesse momento, caso se revele necessário, serão apresentadas ao aluno as deduções matemáticas de que ele necessitar.

Software

Maple
Maxima
Matlab 6 R12.1

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Análise numérica

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Obtenção de frequência

Entrega dentro dos prazos estipulados, dos trabalhos aplicados que forem sendo entregues.
Entrega e discussão dos relatórios intercalares que devem obrigatoriamente conter um relatório de execução.
Os alunos que nãp entreguem pelo menos 2/3 dos trabalhos propostos relativos a cada unidade curricular não têm frequência a essa parte da matéria.
Os alunos que não entreguem pelo menos 2/3 dos trabalhos propostos relativos ao total ou que tenham perdido a frequência em relação a mais de 1/3 do total da matéria, perdem a frequência à disciplina.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação é contínua, não-sumativa. Quer isto dizer que o que é avaliado é o processo de aprendizagem e não os resultados da aprendizagem (que se costumam determinar através de testes, ou outros).
Par tal os alunos devem entrgar progressivamente ao longo do semestre um conjunto de trabalhos que lhe vão sendo propostos, que se deve contituir em portfolio final. A avaliação (dita quantitativa) é feita sobre o portfolio. Adicona-se-lhe um conjunto de verificações que são levadas a cabo nos pontos indicados como Relatório Intercalar a que se soma uma verificação final no termo do semestre
Portanto não há lugar a fórmulas de cálculo da classificação final. Contudo, os alunos poderão sempre saber qual é a sua classificação corrente, aula a aula, após o fim da 4ª semana do semestre.
A verificação serve essencialmente para que o docente se possa assegurar que, independentemente de o aluno ter executado ou não cada um dos trabalhos, domina o modo como cada um deles foi executado e a matéria correspondente. Serve adicionalmente como exercício de auto-avaliação.

Provas e trabalhos especiais

Pode ser distribuído aos alunos um trabalho de maior fôlego que deva ser resolvido ao longo de um período longo.
Melhoria de classificação:
Dada a natureza da avaliação não haveria lugar a melhoria de classificações.
Contudo, para respeitar as normas da FEUP, a melhoria de avaliação pode ser obtida mediante a resolução de um conjunto de problemas adicionais entregues ao aluno, que, num prazo determinado por comum acordo com o docente, entregará os mesmos “deliverables” exigidos no decurso da disciplina. Segue-se uma entrevista individual que versará sobre o modo de resolução dos problemas apresentados.
Caso estes alunos assim o desejem, podem recorrer a um exame clássico, o que nao se aconselha.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os alunos dispensados de frequência são aconselhados a trabalhar fora das aulas em conjunto com pelo menos um colega que seja assíduo às aulas e também a contactar frequentemente com o docente.
A avaliação é feita mediante a apresentação do mesmo "portfolio" de trabalhos que é requerido aos alunos com frequência normal, bem como do relatório de execução dos trabalhos; segue-se a entrevista de avaliação final.
O desempenho dos alunos ao longo da disciplina é avaliado durante as sessões de esclarecimento de dúvidas marcadas com estes especialmente para o efeito.
Embora o conceito de avaliação contínua seja desvirtuado ao considerar como um caso específico este tipo de alunos, é ainda assim possível ter para com eles um procedimento equivalente ao dos restantes.
Caso estes alunos assim o desejem, podem recorrer a um exame clássico, o que nao se aconselha.

Melhoria de classificação

Melhoria de classificação:
Dada a natureza da avaliação não haveria lugar a melhoria de classificações.
Contudo, para respeitar as normas da FEUP, a melhoria de avaliação pode ser obtida mediante a resolução de um conjunto de problemas adicionais entregues ao aluno, que, num prazo determinado por comum acordo com o docente, entregará os mesmos “deliverables” exigidos no decurso da disciplina. Segue-se uma entrevista individual que versará sobre o modo de resolução dos problemas apresentados.
Caso estes alunos assim o desejem, podem recorrer a um exame clássico, o que nao se aconselha.

Observações

Disciplina complementada em módulo de e-learning.