Abstract (EN):
The study of regular objects, such as polytopes, and their symmetries is
a subject that attracts researchers from different areas of mathematics,
such as geometers and algebraists, but also researchers from other areas
of knowledge such as chemistry, thanks to the high symmetry of the
molecules. An abstract polytope is a structure that combinatoricaly
describes a classical polytope (a generalization of polygons and polyhedra
to higher dimensions). Abstract regular polytopes can be described as a
poset, as an incidence geometry or as C-group with linear diagram. A
hypertope was introduced as a polytope-like structure where its group
of symmetries is a C-group however it does not need to have a linear diagram.
Grünbaum¿s problem, one of the classical problems of the theory of
abstract polytopes, not yet completely solved, consists in the classification
of locally toroidal polytopes. The problem is extensible to hypertopes
of rank 4 with toroidal rank 3 residues. Locally toroidal hypertopes are
constructed from toroidal regular hypermaps {4, 4}, {6, 3}, {3, 6} or
(3, 3, 3). The groups of these toroidal regular hypermaps can be represented
as faithful transitive permutation representation graphs, which can be
then used either to classify locally toroidal polytopes or to construct new
polytopes/hypertopes with toroidal residues.
In this thesis, a classification of all the possible degrees of faithful
transitive permutation representations of the toroidal regular hypermaps
and of the locally toroidal regular polytopes of type {4, 4, 4} is given...;O estudo de objectos simétricos, como o caso dos polítopos, e das suas
simetrias é um assunto que atrai a atenção de diferentes subáreas da
Matemática, tal como Geometria e Álgebra, mas também noutras áreas do
conhecimento científico, nomeadamente na Química, pela existência de um
elevado grau de simetria nas moléculas. Os polítopos clássicos, a generalização
dos polígonos e poliédros para outras dimensões, podem ser analisados
do pontos de vista combinatório, dando origem aos polítopos abstratos. Os
polítopos abstratos regulares podem ser descritos de diferentes formas, tais
como um conjunto parcialmente ordenado, uma geometria de incidência
ou ainda pelo seu grupo de simetrias, que é um C-grupo com diagrama
linear. Os hipertopos foram introduzidos como uma estrutura semelhante
aos polítopos, mas em que o seu grupo de simetrias é um C-grupo com
diagrama não necessariamente linear.
O problema de Grünbaum, um dos problemas clássicos da teoria dos
politopos abstratos, ainda não totalmente resolvido, consiste na classificação
de politopos localmente toroidais. Este problema é extensível a
hipertopos de dimensão 4 com resíduos toroidais de dimensão 3. Hipertopos
localmente toroidais são construidos a partir de hipermapas regulares
toroidais {4, 4}, {6, 3}, {3, 6} ou (3; 3; 3). Pelo Teorema de Cayley,
sabemos que qualquer grupo pode ser representado fielmente por um grupo
de permutações. Assim podemos construir representações fiéis por grupos
de permutações dos grupos destes hipermapas, que podem ser usados tanto
para classificar politopos localmente toroidais como para construir novos
politopos/hipertopos com resíduos toroidais.
Nesta tese determinam-se todos os possíveis graus de representações
fiéis por permutações dos hipermapas toroidais regulares e dos polítopos
localmente toroidais do tipo {4, 4, 4}...
Language:
English
Type (Professor's evaluation):
Scientific